我们给出向量场及保守向量场（conservative field）的定义，以及如何求出保守向量场的势函数（potential）。如果一个向量场是一个数量函数的梯度，那么这个向量场称为保守向量场，而这个数量函数称为向量场的势函数。

笔记下载：向量场与保守向量场 vector field and conservative vector field

1，向量场(vector field)：向量场就是在平面上或者空间中的每一个点对应一个向量。所以平面上的向量场是一个二维向量值函数，而空间中的向量场是一个三维向量值函数。

在平面上，向量场可以表示为

\[\vec{F}(x,y)=F_1(x,y)\vec{i}+F_2(x,y)\vec{j}=(F_1(x,y),F_2(x,y))\]

空间中，

\[\vec{F}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\vec{i}+F_2(x,y,z)\vec{j}+F_3(x,y,z)\vec{k}=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))\]

这样定义的向量值函数就是向量场。几何上，我们在每一个点上附着一个向量来表示一个向量场。

例1，\(\vec{F}(x,y)=-y\vec{i}+x\vec{j}\) 是平面上的向量场。

我们可以选取一些点，在这些点上求出对应的向量，然后在这些点上画出对应的向量，就可以表示出这个向量场。

\[\vec{F}(0,0)=0\quad \vec{F}(1,0)=\vec{j},\quad \vec{F}(0,1)=-\vec{i}\]

\[\vec{-1,0}=-\vec{j},\quad \vec{0,-1}=\vec{i}\]

\[\vec{F}(1,1)=-\vec{i}+\vec{j},\quad \vec{-1,1}=-\vec{i}-\vec{j}\]

我们将这些点以及它们所对应的向量画出来，就得到了向量场的大致形状。

2，场流线（积分曲线）(field line, integral line) 若在一条曲线 \(\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) 的每一点，都有一个向量场与曲线 \(\vec{r}(t)\) 相切，那我们就称 \(\vec{r}(t)\) 是 \(\vec{F}\) 的场流线或者积分曲线。由这个定义，我们有

\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\lambda(t)\vec{F}(\vec{r}(t))\]

\[(x'(t),y'(t),z'(t))=\lambda(t)(F_1(\vec{r}(t),F_2(\vec{r}(t),F_3(\vec{r}(t)))\]

所以

\[\frac{dx}{dt}=\lambda(t) F_1,\quad \frac{dy}{dt}=\lambda(t)F_2,\quad \frac{dz}{dt}=\lambda(t)F_3\]

消去 \(dt\)，我们得到了流线的方程

\[\frac{dx}{\lambda(t) F_1}=\frac{dy}{\lambda(t) F_2}=\frac{dz}{\lambda(t) F_3}\]

例2，求向量场 \(\vec{F}=-y\vec{i}+x\vec{j}\) 的积分曲线（流线）。

解：由上面的公式，

\[\frac{dx}{-y}=\frac{dy}{x}\quad \Rightarrow \quad xdx=-ydy\]

两边积分，得到

\[\int xdx=-\int ydy \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}x^2+C=\frac{1}{2}y^2\]

所以得到

\[x^2+y^2=C\]

这是一个圆的方程。

3，保守向量场(conservative field)：如果一个向量场是一个数值函数的梯度场

\[\vec{F}=\nabla f\]

我们称这个向量场 \(\vec{F}\)是保守向量场。数值函数 \(f\) 称为向量场 \(\vec{F}\) 的势函数（potential function）。

对于保守向量场，我们有这样的定理

定理：若 \(\vec{F}\) 的各个分量的偏导数连续，则 \(\vec{F}\) 是保守向量场的充分必要条件是

\[\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x} (2D)\]

\[\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial y} (3D)\]

证明：我们就二维的情形给出证明，三维的情形是类似的。

因为\[\vec{F}(x,y)=F_1(x,y)\vec{i}+F_2(x,y)\vec{j}=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\]

所 以\[\frac{\partial f}{\partial x}=F_1(x,y),\quad \frac{\partial f}{\partial y}=F_2(x,y)\]

因为 \(F_1,F_2\) 的一阶偏导数连续，所以 \(f\) 的二阶混合偏导数连续。由混合偏导数的性质，它们是相等的，也就是\[\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y}\]

4，求势函数：我们看一下怎么求向量场的势函数。我们以三维的情形为例。

因为 \(F_1=\frac{\partial f}{\partial x}\)，所以

\[f=\int F_1dx=h(x,y,z)+g(y,z)\]

再两边分别关于 \(y,z\) 求导，

\[\frac{\partial f}{\partial y}=h_y+g_y=F_2,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=h_z+g_z=F_3\]

从而求出 \(g(y,z)\)。

例3，设 \(\vec{F}=(xy-\sin z)\vec{i}+(\frac{1}{2}x^2-\frac{e^y}{z})\vec{j}+(\frac{e^y}{z^2}-x\cos z)\)，判断 \(\vec{F}\) 是不是保守向量场。如果是，求它的势函数（\(z\ne 0\)）。

解：因为

\[\frac{\partial F_1}{\partial y}=x,\quad \frac{\partial F_2}{\partial x}=x,\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}=-\cos z\]

\[\frac{\partial F_3}{\partial x}=-\cos z,\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{e^y}{z^2},\quad \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{e^y}{z^2}\]

又因为上述各个偏导数在 \(z\ne0\) 的地方都是连续的。所以 \(F\) 是保守向量场。现在我们来求它的势函数。

设 \(\vec{F}=\nabla f\)，那么

\[f(x,y,z)=\int F_1(x,y,z)dx=\int(xy-\sin z)dx=\frac{1}{2}x^2y-x\sin z+g(y,z)\]

对 \(f\) 分别关于 \(y,z\) 求导，得到

\[F_2=\frac{\partial f}{\partial y}\Rightarrow \frac{1}{2}x^2-\frac{e^y}{z}=\frac{1}{2}x^2+g_y(y,z)\]

所以 \(g_y(y,z)=-\frac{e^y}{z}\)，对它关于 \(y\) 求积分

\[g(y,z)=\int(-\frac{e^y}{z})dy=-\frac{e^y}{z}+h(z)\]

所以 \(f(x,y,z)=\frac{1}{2}x^2y-\frac{e^y}{z}+h(z)\)，对它关于 \(z\) 求导，得到

\[F_3=\frac{\partial f}{\partial z}\Rightarrow \frac{e^y}{z^2}-x\cos z=-x\cos z+\frac{e^y}{z^2}+h'(z)\]

所以 \(h'(z)=0\)，也就是 \(h(z)=C\) 是一个常数。所以我们得到

\[f(x,y,z)=\frac{1}{2}x^2y-\frac{e^y}{z}+C\]

是向量场 \(\vec{F}\) 的势函数。