我们分三种情况来讨论如何应用格林（Green’s Theorem）公式来求曲线积分：闭曲线，无奇点；闭曲线，有奇点；开曲线。这三种情况都可以利用格林公式来求曲线积分。事实上，几乎所有的曲线积分都可以用格林公式来求。

笔记下载：应用格林（Green）公式求曲线积分 evaluate line integrals using Green’s theorem

我们首先回顾一下格林公式。

1，格林公式：设 \(L\) 是分段光滑的闭曲线，其围成部分为平面上的单连通区域 \(D\)，若 \(P(x,y), Q(x,y)\) 在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数，则有\[\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

2，应用格林公式求曲线积分，我们分三种情况来讨论。

（1）\(L\) 是闭曲线，且 \(P(x,y), Q(x,y)\) 在 \(D\) 内一阶连续可导 \(\quad\Rightarrow\quad\) 直接应用格林公式；

（2）\(L\) 是闭曲线，且 \(P(x,y), Q(x,y)\) 在 \(D\) 内有奇点（不连续或者不可导） \(\quad\Rightarrow\quad\) 挖去奇点，

这样就是一个复连通区域，我们添加辅助线，将区域变成几个单连通区域之和，然后辅助线上的积分为 \(0\)，

应用格林公式，最后将区域上的二重积分减去里面的闭曲线上的积分，就得到了结果；\[\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy-\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\]

（3）\(L\) 是开曲线：添加辅助线使其成为闭曲线，

然后应用格林公式。\[\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy-\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\]

这里 \(L_1\) 是辅助线。

我们来看一下具体的例子。

例1：计算 \(\oint_L(e^x-y^3)dx+(\cos y+x^3)dy\)，其中 \(L\) 是圆周 \(x^2+y^2=1\)，逆时针方向。

解：被积函数在整个平面上一阶连续可导，所以在圆内无奇点，可以直接应用格林公式。

\begin{align*}\oint_L(e^x-y^3)dx+(\cos y+x^3)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial }{\partial x}(\cos y+x^3)-\frac{\partial }{\partial y}(e^x-y^3)\right)dxdy\\ &=\iint_{x^2+y^2\le 1}\left(3x^2+3y^2\right)dxdy\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^13r^2\cdot rdrd\theta=\int_0^{2\pi}\frac{3}{4}r^4\Big|_0^1d\theta\\ &= \frac{3}{4}\theta\Big|_0^{2\pi}=\frac{3\pi}{2}\end{align*}

例2：计算 \(\displaystyle\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\)，其中 \(L\) 是原点在其内部的任一正向闭曲线。

解：因为被积函数在原点处没有定义，所以原点是被积函数的奇点。我们以原点为心，作一个半径为 \(\epsilon \) 的圆 \(L_{\epsilon}\)，那么被积函数在介于 \(L\) 与 \(L_{\epsilon}\) 之间的区域内是一阶连续可导的。

这里 \(L\) 是正向，逆时针，\(L_{\epsilon}\) 是反向，顺时针。介于这两条曲线之间的区域我们记为 \(D\)，它的边界为 \(L+L_{\epsilon}\)，由格林公式，

\[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}+\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

因为 \[\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}\]所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\Rightarrow\quad\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

所以我们得到 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\]

因为 \(L_{\epsilon}\) 可用参数方程表示为 \(x=\epsilon\cos t, y=\epsilon \sin t\)，顺时针方向，所以 \(t\) 是从 \(2\pi\) 到 \(0\)，

\begin{align*}-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&= -\int_{2\pi}^0\left(\frac{-\epsilon\sin t \epsilon (-\sin t)+\epsilon\cos t\epsilon\cos t}{\epsilon^2}\right)dt\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\epsilon^2\sin^2t+\epsilon^2\cos^2t}{\epsilon^2}dt=\int_0^{2\pi}dt=2\pi\end{align*}

所以 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=2\pi\]

例3：计算 \(\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy\)，其中 \(L\) 是抛物线 \(2x=\pi y^2\) 上从点 \((0,0)\) 到 \((\frac{\pi}{2}, 1)\) 之间的一段。

解：积分的曲线如图：

如果直接计算，这个积分基本上是求不出来的，但是利用格林公式，计算就变得很简单。但是这个曲线不是闭曲线，我们需要添加辅助线来将它变成闭曲线。

我们看到整个闭曲线的方向是顺时针方向，它是逆向的，所以

\[\left(\int_L+\int_{L_1}+\int_{L_2}\right)(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy=-\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

我们先来计算右边的积分。因为

\[\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-2y\sin x+3x^2y^2)=-2y\cos x+6xy^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3-y^2\cos x)=6xy^2-2y\cos x\]

所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

那么 \[\int_LPdx+Qdy=-\int_{L_1}Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy\]

在 \(L_1\) 上，\(x=\frac{\pi}{2}, dx=0\)， \(y\) 从 \(1\) 到 \(0\)。所以

\begin{align*}-\int_{L_1}Pdx+Qdy&=-\int_1^0Q(x,y)dy=-\int_1^0\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=\int_0^1\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy=y-y^2+\frac{\pi^2}{4}y^3\Big|_0^1=\frac{\pi^2}{4}\end{align*}

在 \(L_2\) 上， \(y=0,dy=0\)，\(x\) 从 \(\frac{\pi}{2}\) 到 \(0\)。所以

\[-\int_{L_2}Pdx+Qdy=-\int_{L_2}Pdx=-\int_{L_2}0dx=0\]

所以

\[\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy=\frac{\pi^2}{4}\]