由格林公式，我们得到了求平面区域的面积的一种方法。就是可以用对区域的边界曲线求曲线积分的方程来求区域的面积。

笔记下载：应用格林公式求面积 find area using Green’s Theorem

1，平面区域的面积：由格林公式 $$A={\iint }_{D}dA={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{L}Pdx+Qdy$$

这里 $L$ 是区域 $D$ 的边界曲线。所以只要 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$， 我们就可以用曲线积分来计算区域的面积。我们可以有不同的选择：

（1）$P=0,Q=x$，则 ${\displaystyle A={\int }_{L}xdy}$；

（2）$P=-y,Q=0$，则 ${\displaystyle A={\int }_L-ydx}$；

（3）$P=-\frac{1}{2}y,Q=\frac{1}{2}x$，则 ${\displaystyle A=\frac{1}{2}{\int }_L-ydx+xdy}$。

这几个选择都可以用来计算平面区域的面积。我们用三种方法来计算同一个区域的面积。

例1，计算 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围成的区域的面积。

解：因为这是一个椭圆，我们在中学就知道它的面积。我们现在用曲线积分来证明这个面积公式。

椭圆的参数方程为 $x=a\cos t,y=b\sin t,0\le t\le 2\pi$。正向为 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

（1）我们取 $P=0,Q=x$，则

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{L}xdy={\int }_0^{2\pi }a\cos tb\cos tdt=ab{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt\\ & =ab{\int }_0^{2\pi }\frac{1+2\cos 2t}{2}dt=ab(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t){|}_0^{2\pi }\\ & =\pi ab\end{array}$$

（2）我们取 $P=-y,Q=0$，则

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_L-ydx={\int }_0^{2\pi }-b\sin ta(-\sin t)dt=ab{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt\\ & =ab{\int }_0^{2\pi }\frac{1-2\cos 2t}{2}dt=ab(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t){|}_0^{2\pi }\\ & =\pi ab\end{array}$$

（3）最后我们取 $P=-\frac{1}{2}y,Q=\frac{1}{2}x$，则

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}{\int }_L-ydx+xdy\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(-b\sin ta(-\sin t)+a\cos tb\cos t)dt\\ & =\frac{1}{2}ab{\int }_0^{2\pi }({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)dt=\frac{1}{2}ab{\int }_0^{2\pi }dt=\frac{1}{2}abt{|}_0^{2\pi }\\ & =\pi ab\end{array}$$

我们看到，这三种选择都可以得到我们想要的结果。可以根据我们的需要，选择合适的函数来计算。当然，除了这三种选择以外，还有很多其它的选择，我们不一一举例了。