我们从曲线的质量（mass）问题导出对弧长的曲线积分的定义并给出计算曲线积分的方法。弧长的曲线积分与方向无关，只与曲线的长度有关。
笔记下载：对弧长的曲线积分 line integral in terms of arc length
1，曲线的质量问题：因为这条曲线的密度不均匀，而且是曲线，我们不能直接计算得到它的质量。那我们将这条曲线划分成很小的一段段，
在每一小段上，密度近似于常数。在每一小段上，任取一点，把它的密度作为整段的密度的近似值，所以在这一段上，质量近似于
\[\Delta m_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
所以整段曲线的质量近似于
\[s=\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
当每一段的长度近似于 \(0\) 时，这个近似值的极限值就是质量的精确值，即
\[s=\lim_{\Delta s\to 0}\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
我们又见到了和式的极限，我们还是把它记作积分，即
\[\int_Cf(x,y)ds=\lim_{\Delta s\to 0}\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
因为这类积分是在曲线上的积分，而且的积分变量曲线的弧长 \(s\)，所以我们称这种积分为对弧长的曲线积分。
2，计算：因为积分变量是 \(s\)，我们没办法直接计算。我们需要将它转变成对 \(x,y\) 的积分才能计算。我们先在平面上导出它的表达式，在空间可以类似讨论。
我们看到当分段点很密集时，每一小段曲线的长度可以用连接两个端点的直线的长度来近似 \(\Delta s_i\approx\sqrt{\Delta ^2x+\Delta^2y}\)。当曲线每一小段的长度趋于 \(0\) 时，我们就有 \[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}\]
我们可以分三种情况计算：
（1）当曲线 \(C\) 由参数方程 \(x=x(t), y=y(t),\alpha\le t\le \beta\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
所以曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
（2）当曲线\(C\) 由函数 \(y=g(x),a\le x\le b\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(g'(x))^2}dx\]
曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_a^bf(x,g(x))\sqrt{1+(g'(x))^2}dx\]
（3）当空间曲线 \(C\) 由参数方程 \(x=x(t), y=y(t),z=z(t), \alpha\le t\le \beta\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt\]
曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt\]
我们来看例子。
例1：求曲线积分 \(\displaystyle\int_L\sqrt{y}ds\)，其中 \(L\) 是函数 \(y=x^2\) 从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 之间的一段。
解：因为 \(y=x^2\)，我们有 \(\sqrt{y}=x, y’=2x\)，所以 \[ds=\sqrt{4x^2+1}dx\]
曲线积分为
\begin{align*}\int_C\sqrt{y}ds&=\int_0^1x\sqrt{4x^2+1}dx\\ &=\frac{1}{12}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1\\ &=\frac{1}{12}(5^{\frac{3}{2}}-1)\end{align*}
例2：计算曲线积分 \(\displaystyle\int_Ly\sin zds\)，其中 \(C\) 由参数方程 \(x=\cos t,y=\sin t,z=t\)， \(0\le t\le 2\pi\) 给出。
解： 我们有 \[\vec{r}(t)=\{\cos t,\sin t, t\},\quad \vec{r}'(t)=\{-\sin t, \cos t,1\}\]
\[|\vec{r}(t)|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}==\sqrt{2}\]
所以
\begin{align*}\int_Ly\sin zds&=\int_0^{2\pi}\sin t\cdot\sin t\sqrt{2}dt=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sin^2tdt\\ &=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos2t}{2}dt=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin2t\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=\sqrt{2}\pi\end{align*}
例3：计算曲线积分 \(\displaystyle \int_Lyds\)，其中 \(L\) 由参数方程 \(x=t^3, y=t^2\)， \(0\le t\le 2\) 给出。
解：我们有\[\vec{r}(t)=\{t^3,t^2\},\quad \vec{r}'(t)=\{3t^2,2t\},\quad |\vec{r}'(t)|=\sqrt{9t^4+4t^2}\]
曲线积分为
\begin{align*}\int_Lyds&=\int_0^1t^2\sqrt{9t^4+4t^2}dt=\int_0^1t^3\sqrt{9t^2+4}dt\\ &=\int_0^1t^2\sqrt{9t^4+4t^2}tdt\end{align*}
做变换 \(u=9t^2+4\)，得到 \(du=18dt, tdt=\frac{1}{18}du, 4\leq u\leq 13\)，从而积分变为
\begin{align*}\int_Lyds&=\int_0^1t^2\sqrt{9t^4+4t^2}tdt=\frac{1}{18}\int_4^{13}\frac{1}{9}(u-4)\sqrt{u}du\\ &=\frac{1}{162}\left(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-4\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right)\Big|_$^{13}\\ &=\frac{1}{162}\left(\frac{2}{5}13^{\frac{5}{2}}-\cdot\frac{8}{3}13^{\frac{3}{2}}-\frac{64}{5}+\frac{64}{3}\right)\end{align*}