我们在弧长参数的情况下推导曲线的单位切向量，单位法向量以及曲线在一点处的曲率。事实上，以弧长为参数的曲线，它的一阶导数就是单位切向量，二阶导数的长度就是曲率，二阶导数单位化以后就是单位法向量。

笔记下载：单位切向量，单位法向量与曲率 unit tangent, unit normal and curvature

1，弧长参数下的曲线：\(\vec{r}=\vec{r}(s)\)

（1）\[L=\int_{s_0}^{s_1}|\vec{r}'(s)ds=s_1-s_0\]

这是因为\[\vec{r}'(s)=\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\vec{r}'(t)\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}=\vec{r}'(t)\cdot\frac{1}{|\vec{r}'(t)|}=1\]

两边积分就得到了上面的结果。

（2）\(|\vec{r}'(s)|=1\)

2，单位切向量：长度为 \(1\) 的切向量，我们记为 \(\vec{T}\)

在弧长参数下，\[\vec{T}=\vec{r}'(s)=\dot{\vec{r}}(s)\]

后面这个记号特指对弧长参数的函数的导数。

在一般参数下，\[\vec{T}=\frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t)|}\]

3，单位法向量：

（1）一般参数下，\(\vec{T}(t)=1\)，它的长度是常数，由我们前面的课程知道，长度是常数的向量值函数，它的切向量与函数本身垂直，\(\vec{T}(t)\perp \vec{T}'(t)\)，所以 \(\vec{T}'(t))\) 是曲线的法向量（它始终垂直与曲线本身）。 将它单位化，就是曲线的单位法向量

\[\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{|\vec{T}'(t)|}\]

（2）弧长参数下，\(\vec{T}(s)=\dot{\vec{r}}(s)\)，同样的推导，

\[\vec{N}(s)=\frac{\vec{T}'(s)}{|\vec{T}'(s)}=\frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}\]

4，曲率：我们记 \[k(s)=|\ddot{\vec{r}}(s)|\]称为曲线的曲率。

它的几何意义就是曲线弯曲程度。我们有这样的定理，

定理：曲率就是曲线的单位切向量转角的变化率。

证明：因为曲线弯曲的程度与切向量的转角成正比，（单位弧长下）转角越大，曲率越大；与弧长成反比，（单位转角下）弧长越长，曲率越小。

\begin{align*}k(s)&=\lim_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta \theta}{\Delta s}\right|\\ &=\lim_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta \theta}{\Delta \vec{T}}\right|\cdot\left|\frac{\Delta \vec{T}}{\Delta s}\right|\end{align*}

因为 \(\Delta s\to 0\) 时， 第一个极限为 \(1\)，第二个极限就是 \(\vec{T}\) 的导数，所以

\[k(s)=|\vec{T}'(s)|=\ddot{\vec{r}}(s)\]

例，求螺旋线 \(\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t, bt)\) 的单位切向量，单位法向量及曲率。

解：由前面的定义我们知道，利用弧长参数会比较好计算一些。由上一次课程，我们知道

\[\vec{r}(s)=\left(a\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},a\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\]

所以\[\vec{T}(s)=\dot{\vec{r}}(s)=\left(-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\]

切向量的导数为 \[\vec{T}'(s)=\ddot{\vec{r}}(s)=\left(-\frac{a}{a^2+b^2}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},-\frac{a}{a^2+b^2}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},0\right)\]

\[|\ddot{\vec{r}}(s)=\frac{a}{a^2+b^2}\]

单位法向量为 \[\vec{N}(s)=\frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}=\left(-\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},-\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},0\right)\]

曲率为 \[k(s)=|\ddot{\vec{r}}(s)=\frac{a}{a^2+b^2}\]

5，法向量与曲率：由法向量的表达式，我们有

\[\vec{N}(s)=\frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}=\frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{k(s)}\]

所以 \[\vec{T}'(s)=k(s)\vec{N}(s)\]