一元的向量值函数实际上表示了空间中的曲线。它的导数就是它的切向量。它的一阶导数也称为速度向量，一阶导数的长度称为它的speed(速度)，它的二阶导数是它的加速度向量。
1，一元向量值函数（vector value function with one variable）：我们知道，空间坐标 \((x,y,z)\) 可以代表空间中的一个点，也可以代表以这个点为终点、原点为起点的向量。那么空间曲线
\[(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))\]的每一个点可以代表一个向量，当这个向量的终点随着参数变化时，它就是一个向量值函数
\[\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}\]
空间曲线就是一元的向量值函数，它只有一个自变量，就是它的参数 \(t\)。
2，向量值函数的极限（limit）：我们记 \[\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{L}\]它的严格定义是
对任何的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|t-t_0|<\delta\) 的时候，\(|\vec{r}(t)-\vec{L}<\epsilon\) 成立，那我们就说当 \(t\) 趋近于 \(t_0\) 时，\(\vec{r}(t)\) 的极限是向量 \(\vec{L}\)。
这个定义与普通函数的极限的定义是一致的。
3，向量值函数的导数（derivative）：与普通函数的导数一样，我们定义
\[\vec{r}'(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(t_0)}{t-t_0}\]
或者写成 \[\vec{r}'(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{r}(t_0+\Delta t)-\vec{r}(t_0)}{\Delta t}\]
它的几何意义是曲线 \(\vec{r}(t)\) 在 \(x(t_0),y(t_0),z(t_0)\) 处的切向量。
如果写成分量的形式， 我们有
\[\vec{r}'(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(t_0)}{t-t_0}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\]
类似地，对于一般的 \(t\)，
\[\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\vec{r}'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{t-t_0}=(x'(t),y'(t),z'(t))\]
4，物理意义：如果 \(\vec{r}(t)\) 是质子的位置函数，那么 \(\vec{r}'(t)\) 就是质子的速度向量，\(\vec{r}^{\prime\prime}(t)\) 就是质子的加速度向量，\( |\vec{r}'(t)|\) 是质子的速度，
\[\vec{r}'(t)=\vec{v}(t), \quad \vec{r}^{\prime\prime}(t)=\vec{a}(t),\quad |\vec{r}'(t)|=v\]
5，连续性：我们说向量值函数 \(\vec{r}(t)\) 在点 \(t_0\) 处连续是指
\[\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{r}(t_0)\]
6，向量值函数求导法则：
（1）\((C\vec{r}'(t))=C\vec{r}'(t)\)；
（2）\(\frac{d}{dt}\vec{C}=0\)；
（3）\(\frac{d}{dt}(\lambda(t)\vec{r}(t))=\lambda'(t)\vec{r}(t)+\lambda(t)\vec{r}'(t)\)；
（4）\(\frac{d}{dt}(\vec{r}(t)\pm \vec{s}(t))=\vec{r}'(t)\pm \vec{s}(t)\)；
（5）\(\frac{d}{dt}(\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t))=\vec{r}'(t)\cdot\vec{s}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{s}'(t)\)；
（6）\(\frac{d}{dt}(\vec{r}(t)\times \vec{s}(t))=\vec{r}'(t)\times \vec{s}(t)+\vec{r}(t)\times \vec{s}'(t)\)。
证明这里我们略去。有兴趣的同学可以看视频。
例1，设 \(\vec{r}(t)=2\cos t\vec{i}+2\sin t\vec{j}+5\cos^2t\vec{k}\)，求它的速度向量，加速度向量以及速度。
解：我们有
\begin{align*}\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)&=(2\cos t,2\sin t,5\cos^2t)’\\ &=(-2\sin t, 2\cos t, -10\cos t\sin t)\\ &=(-2\sin t, 2\cos t, -5\sin 2t)\end{align*}
\[\vec{a}(t)=\vec{r}^{\prime\prime}(t)=(-2\cos t, -2\sin t, -10\cos 2t)\]
\[v=|\vec{v}(t)|=\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t+25\sin^22t}=\sqrt{4+25\sin^22t}\]
7，固定长度的向量值函数：如果向量值函数的长度是常数，它有一个特殊的性质，就是它的切向量与向量值函数本身是垂直的。我们有这样的定理，
定理：若 \(|\vec{r}(t)|=C\)，那么 \(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0\)，也就是说 \(\vec{r}(t)\perp \vec{r}'(t)\)。
证明：因为 \((\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t))^{\frac{1}{2}}=C\)，两边平方得到 \(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=C^2\)，再两边求导， 我们有
\[2\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0\]
所以 \(\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0\)，由两个向量垂直的充分必要条件，\(\vec{r}(t)\perp \vec{r}'(t)\)。