副法向量就是单位切向量与单位法向量的叉积，而挠率就是曲线的副法向量的变动情况。副法向量的导数是平行于单位法向量的，它的导数与单位法向量的比率的负数是为挠率。

笔记下载：副法向量，挠率与 Frenet 公式 binormal, torsion and Frenet formula

1，副法向量（Binormal vector）：定义曲线的副法向量为

\[\vec{B}=\vec{T}\times \vec{N}\]

2，挠率（Torsion）：我们对副法向量求导

\[\frac{d\vec{B}}{ds}=\frac{d\vec{T}}{ds\times \vec{N}}+\vec{T}\times\frac{d\vec{N}}{ds}=k(s)\vec{N}\times \vec{N}+\vec{T}\times \frac{d\vec{N}}{ds}=\vec{T}\times \frac{d\vec{N}}{ds}\]

上面我们用了等式 \(\frac{d\vec{T}}{ds}=k(s)\vec{N}\) 和 \(\vec{N}\times \vec{N}=0\)。因为 \(\vec{N}\) 是单位向量，所以它的导数与它本身是垂直的， \(\frac{d\vec{N}}{ds}\perp \vec{N}\)，所以 \(\frac{d\vec{N}}{ds}\) 只能是 \(\vec{T}\) 与 \(\vec{B}\) 所确定的平面上，设

\[\frac{d\vec{N}}{ds}=\lambda(s)\vec{T}+\tau(s)\vec{B}\]

则 \begin{align*}\frac{d\vec{B}}{ds}&=\vec{T}\times \frac{d\vec{N}}{ds}= \vec{T}\times\lambda(s)\vec{T}+\vec{T}\times\tau(s)\vec{B}\\ &=\lambda(s)\vec{T}\times \vec{T}+\tau(s)\vec{T}\times \vec{B}=\tau(s)\vec{T}\times\vec{B}\end{align*}

由右手系法则，\(\vec{T}\times \vec{B}=-\vec{N}\)，所以

\[\frac{d\vec{B}}{ds}=tau(s)\vec{T}\times\vec{B}=-\tau(s)\vec{N}\]

我们把 \(\tau(s)\) 称为曲线的挠率（torsion）。

3，挠率的几何意义：对于平面曲线来说，\(\vec{B}\) 可以认为就是 \(z\) 轴上的单位向量，它是一个常向量，\(\frac{d\vec{b}}{ds}=0\)，从而 \(\tau(s)=0\)。所以平面曲线的挠率为 \(0\)。如果挠率不为 \(0\)，它就不是平面曲线，它代表曲线“离开”平面的程度，就是曲线“翘起”的程度。

例1，求螺旋线 \(\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)\) 的副法向量与挠率。

解：从之前的例子我们知道，

\[\vec{r}(s)=\left(a\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}, a\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\]

\[\vec{T}=\left(-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\]

\[\vec{N}=\left(-\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},-\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},0\right)\]

所以，

\begin{align*}\vec{B}&=\vec{T}\times\vec{N}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ -\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}&-\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}&0\end{vmatrix}\\ &=\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\end{align*}

\begin{align*}\frac{d\vec{B}}{ds}&=\left(\frac{b}{a^2+b^2}\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{a^2+b^2}\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},0\right)\\ &=\frac{b}{a^2+b^2}\left(\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},0\right)\\ &=\frac{b}{a^2+b^2}\vec{N}\end{align*}

所以，我们得到了 \(\tau(s)=\frac{b}{a^2+b^2}\)，这是一个常数。

4，Frenet 公式（Frenet 标架）：单位切向量、单位法向量、单位副法向量在曲线的局部形成了一个坐标架，那么在一点附近，其它的向量应该都可以用这三个向量表示，特别是这三个向量的导向量。我们已经有了

\[\frac{d\vec{T}}{ds}=k(s)\vec{N},\quad \frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau(s)\vec{N}\]

现在我们用来推导 \(\frac{d\vec{N}}{ds}\) 的公式。由右手系，\(\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}\)，所以

\begin{align*}\frac{d\vec{N}}{ds}&=\frac{d\vec{B}}{ds}\times\vec{T}+\vec{B}\times\frac{d\vec{T}}{ds}\\ &=-\tau(s)\vec{N}\times\vec{T}+\vec{B}\times k(s)\vec{N}\\ &=-k(s)\vec{T}+\tau(s)\vec{B}\end{align*}

所以 我们就得到了 Frenet 公式：

\[\begin{cases}\frac{d\vec{T}}{ds}=k(s)\vec{N}\\ \frac{d\vec{N}}{ds}=-k(s)\vec{T}+\tau(s)\vec{B}\\ \frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau(s)\vec{N}\end{cases}\]

写成矩阵的形式，

\[\begin{pmatrix}\frac{d\vec{T}}{ds}\\ \frac{d\vec{N}}{ds}\\ \frac{d\vec{B}}{ds}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&k(s)&0\\ -k(s)&0&\tau(s)\\ 0&-\tau(s)&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vec{T}\\ \vec{N}\\ \vec{B}\end{pmatrix}\]

5，定理（曲线的存在唯一性）：若 \(k(s),\tau(s)\ne 0\)，则存在唯一的曲线 \(\vec{r}=\vec{r}(s)\)，使得它的曲率和挠率分别为 \(k(s),\tau(s)\)。

这个定理要用到常微分方程的存在唯一性，这里就不证明了。