我们给出了偏导数的定义及计算方法。偏导数就是固定其它变量，只让一个变量变化时的导数。求偏导数相对简单，将所有其它的变量都当成常数，只对其中一个变量求导数，运用一元函数的求导法则即可。
笔记下载：偏导数与高阶偏导数 partial derivative
1，偏导数：我们首先处理二元函数的情形。做法是取这一点的两个特殊方向，或者过这一点的两条特殊的曲线，用一元函数的方法来处理，然后其它的方向上的问题可以由这两个方向来处理。
考虑函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((a,b)\) 处的变化率。我们先固定 \(y=b\)，只考虑 \(x\) 方向上的变化率。因为 \(y\) 固定，所以 \(z=f(x,b)\) 是关于 \(x\) 的一元函数，所以它对 \(x\) 有导数，它的图形在这一点有切线，它的斜率就是关于 \(x\) 在这一点的导数。我们把它叫做函数 \(z=f(x,y)\) 关于 \(x\) 的偏导数，它的定义为
偏导数：函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((a,b)\)处关于 \(x\) 的偏导数定义为\[\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(a,b)}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\]或者\[\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(a,b)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\]
同理，我们可以定义函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((a,b)\)处关于 \(y\) 的偏导数\[\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(a,b)}=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}=\lim_{y\to b}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\]
对于函数 \(z=f(x,y)\) 在其定义域内任意一点，我们定义它的偏导数为
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta x}\]
对于三元函数甚至更多元的函数，我们可以类似定义。每次只允许一个变量变化，其它变量都固定。
2，偏导数的求法：从偏导数的定义我们可以看到，在一点的偏导数，只有一个变量是变化的，其它变量都固定。所以在求偏导数的时候，把其它变量都当成常数，用一元函数的求导法则来求即可。
例1：设 \(f(x,y)=x^y\)，求它的两个偏导数。
解：求关于 \(x\) 的偏导数的时候，将 \(y\) 看成常数，所以它是一个幂函数，也就是\[\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1}\]
对 \(y\) 求偏导数的时候，\(x\) 是常数，所以函数是一个指数函数。\[\frac{\partial f}{\partial y}=x^y\ln x\]
例2：\(f(x,y,z)=\ln(x+2y+3z)\)，求它的三个偏导数。
解：我们有
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+2y+3z},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{x+2y+3z},\quad\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{3}{x+2y+3z}\]
例3：\(z=1-x+y-3x^2y\)，求它在点 \((1,2)\)处的偏导数。
解：我们有 \[\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=-1-6xy\Big|_{(1,2)}=-13,\quad \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=1-3x^2\Big|_{(1,2)}=-2\]
最后我们来看一个需要用定义来求偏导数的例子。
例4：设\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin(x^4+y^4)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne(0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{cases}\]求它在点 \((0,0)\) 处的偏导数。
解：这是一个分段函数，它的偏导数存在不存在我们不知道，所以我们用定义来求。
\[\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(0,0)}&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^4}{x^2}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^4}{x^4}\cdot x^2=0\end{align*}\]
因为对称性，我们知道 \(\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(0,0)}=0\)
3，高阶偏导数：我们知道，对于函数 \(z=f(x,y)\) 来说，它的偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) 还是 \((x,y)\) 的二元函数，所以它们本身也可以求偏导数。偏导数再求导就是函数的二阶偏导数。对于阶偏导数再求导就是三阶偏导数，依此类推。
对于二元函数来说，一阶偏导数有两个，它们又都是二元函数。所以，一般来说，二元函数的二阶偏导数有四个：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xx}=f_{11}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=f_{12}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yx}=f_{21}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yy}=f_{22}\]
最后两个等式，是二阶偏导数的其它两种常见的记号。这里需要注意的是，写成下标形式，左边的下标是先求导，右边的下标是后求导。而写成分式形式的二阶偏导数，分母左边的是后求导，右边是先求导。
两个二阶偏导数 \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\) 称为混合二阶偏导数。
二阶偏导数或者高阶偏导数没有什么特别的求法，就是先求出一阶偏导数，再对一阶偏导数求偏导就行了。我们只看一个例子。
例5：设 \(f(x,y)=x\cos y+ye^x\)，求它所有的二阶偏导数。
解：我们先求出一阶偏导数。
\[\frac{partial f}{\partial x}=\cos y+ye^x,\quad \frac{partial f}{\partial y}=-x\sin y+e^x\]
再来求二阶偏导数
\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=ye^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=-\sin y+e^x\]
\[\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-\sin y+e^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cos y\]
上面这个例子，我们看到了两个混合偏导数是一样的。这不是偶然出现的情况，实际上，我们有下述的定理：
定理：若 \(f_x,f_y,f_{xy},f_{yx}\) 在某区域上连续，那么在该区域上 \(f_{xy}=f_{yx}\)。
这个定理我们这里就不证明了。
例如， \(f(x,y)=xy+\frac{e^y}{1+y^2}\) 在整个平面上连续，可导，偏导数都连续，二阶偏导数也连续，所以二阶混合偏导数是相等的。