我们给出了多元函数的概念以及它们的极限与连续性的定义。特别给出了怎么证明函数的极限存在与不存在的方法。

笔记下载：多元函数的概念、极限与连续性 function of several variables

1，二元函数：如果对于平面区域 \(D\) 内任意一点\((x,y)\)，都有一个实数 \(z=f(x,y)\) 与之对应，我们称 \(z=f(x,y)\) 为平面上的一个二元函数。这里的 \(D\) 称之为函数的定义域，而 \(z\) 的所有取值称为函数的值域。

2，函数的图形：所有点 \((x,y,z)\) 的集合称为函数 \(z=f(x,y)\) 的图形。

同理，我们可以定义三元函数、四元函数等等。

我们可以像一元函数一样，定义二元函数在一点处的极限。

3，二元函数的极限：定义：如果对任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(|(x,y)-(x_0,y_0)|<\delta\) 时， 不等式 \(|f(x,y)-A|<\epsilon\) 成立，我们称 \(A\) 为函数 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\) 趋近于点 \((x_0,y_0)\) 时的极限，记为\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\]

多元函数的极限与一元函数的极限具有相似的性质，例如：极限的唯一性，局部保号性等等。

这里有一些要注意的地方。我们回顾一下，在一元函数里，函数在一点处极限存在，充分必要条件是它的左右极限存在且相等。那是因为自变量趋于某个数，只有两个方向。但在多元函数里，自变量趋于某个点的方向或者方式有无限多种。如果极限存在，则所有这些方向的极限都是一样的。

由此，我们知道，如果证明极限不存在，我们只需要找出两个方向，它们的极限不相等。但是要证明极限存在，或者求某个极限，我们能用的方法并不多，除了定义以外，我们要么将极限化成一元函数的极限，要么利用夹挤原理，其它没有太多的方法，这与一元函数不同。

例1：求极限 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4},\]如果它存在的话。

解：我们沿 \(y\) 轴趋于 \((0,0)\)，也就是 \(x=0,y\to 0\)，则 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=0}\atop{y\to0}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=0\]

另外，如果我们沿 \(x=y^2\) 趋近于 \((0,0)\)，那么

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=y^2}\atop{y\to0}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=y^2}\atop{y\to0}}\frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}\]

由此可知，沿这两个方向的极限不相等，从而原极限不存在。

例2：求极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{x}\)。

解：我们有 \[\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{x}=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot y=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot \lim_{(x,y)\to(0,2)}y=2\]

这里我应用了一元函数里的两个重要极限之一 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)。

例3：证明极限 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\]存在。

证明：我们将证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0\)。因为 \[|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}|\le (x^2+y^2)\] 所以如果需要不等式 \[|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0|<\epsilon\]成立，则只需要 \((x^2+y^2)<\epsilon\) 即可。也就是只需要 \(\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{\epsilon}\)。

所以我们取 \(\delta=\sqrt{\epsilon}\) ，则当 \(|(x,y)-(0,0)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta\)时，不等式\(|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0|<\epsilon\) 成立。所以原极限为 \(0\)，即\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0\]

3，二元函数的连续性：像一元函数一样，我们可以定义函数在一点处的连续性。

定义2：若 \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\)，则我们称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 连续。若函数在区域 \(D\) 上每一点都连续，则我们称函数 \(f(x,y)\) 为 \(D\) 上的连续函数。

对于多元连续连续函数，我们有与一元函数类似的性质。设 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(\bar{D}\)上连续，则

• （有界性）\(f(x,y)\) 在 \(\bar{D}\) 上有界；
• （最值定理）\(f(x,y)\) 在\(\bar{D}\) 内可以取到最大值与最小值；
• （介值定理）对于介于最大值与最小值之间的任一值 \(c\)，在\(\bar{D}\) 内存在一点 \(P\)，使得 \(f(P)=c\)。