我们定义了向量，向量是既有大小又有方向的量。我们还定义了向量的加法、减法以及数乘。

笔记下载：向量及其线性运算 vectors and their linear operations

1，向量：向量是指既有大小，又有方向的量。图形上，我们用一个带箭头的线段来表示向量。线段的长度表示它的大小，而箭头的指向表示向量有方向。在数学上，我们用粗体字母 \(\bf a, b, \cdots\) 或者带箭头的字母表示 \(\vec{a}, \vec{b},\cdots\)。

2，向量相等：如果两个向量的大小相等，方向相同，我们认为这两个向量是相等的，而不管它们的起点和终点在哪里。

3，自由向量：与起点无关的向量我们称之为自由向量。

4，向量的长度：我们一般用符号 \(|\vec{a}|\) 表示向量的长度（或者大小），向量的长度也称为向量的模。

5，单位向量：如果向量的长度为 \(1\) ，即 \(|\vec{a}|=1\)，我们称这样的向量为单位向量。

6，向量的单位化：设 \(\vec{a}\) 为任何一个向量，则 \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) 为与 \(\vec{a}\) 同向的单位向量，我们称之为向量的单位化。

7，零向量：若 \(|\vec{a}|=0\)， 我们称该向量为零向量，有时候记为 \(\vec{0}\)。要注意的是零向量的方向是任意的。

8，两向量的夹角：如果将两个向量的起点放在一起，两个向量不超过 \(\pi\) 的夹角，称为两个向量的夹角，记为 \(\theta, 0\le\theta\le \pi\)。即

9，两向量平行：\(\vec{a}\parallel \vec{b}\Longleftrightarrow\theta=0\) 或者 \(\theta=\pi\)；

10，两向量垂直： \(\vec{a}\bot \vec{b}\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\)。

11，两向量的加法可以用平等四边形法则或者用三角形法则来定义。

（1）平行四边形法则：将两个向量的起点放在一起，以此两向量为相邻边，作平行四边形，然后作对角线。以两向量的起点为为起点，以对角线的终点为向量的终点，这样作出来的向量是两个向量的和。

（2）三角形法则：将第二个向量的起点置于第一个向量的终点，然后以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，所得到的向量是为两向量的和向量。

12，负向量：与 \(\vec{a}\) 大小相同，方向相反的向量，记为 \(-\vec{a}\)。

13，两向量相减：\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)。

14，数乘：\(\lambda \vec{a}\)定义为 \(|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|\)；若 \(\lambda>0\)，\(\lambda \vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 方向相同，若\(\lambda<0\)，\(\lambda \vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 方向相反。

15，向量的运算法则：向量的加法与数乘满足通常的交换律、结合律与分配律。

• \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\);
• \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\);
• \(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda\vec{b}\);
• \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\);
• \(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\);
• \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\).