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向量的混合积 triple scalar product

向量的混合积是三个向量，先对两个向量做向量积，然后再跟第三个向量做点积，它的结果是一个数。它的几何意义是这三处向量所确定的平行六面体的体积。

1，三个向量的混合积我们定义为 $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

2，坐标系下的混合积：在坐标系下，

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} |$

对于混合积来说，最重要的结果是三向量共面的条件：

3，定理：三向量共面的充分必要条件是它们的混合积为 $0$ 。即 $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$ 。

因为 $| (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) | = | (\vec{a} \times \vec{b} \cdot) \vec{c} | = | \vec{a} \times \vec{b} | | \vec{c} | \cos θ$ 若它等于 $0$ ，意味着 $\vec{c}$ 与 $\vec{a} \times \vec{b}$ 垂直，也就是它在 $\vec{a}, \vec{b}$ 所确定的平面上，所以三向量共面。

另外，混合积的绝对值是三个向量为邻边的平行六面体的体积。因为 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ 是以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。而 $| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} | = | \vec{a} \times \vec{b} | \cdot | \vec{c} | | \cos θ |$ 。 $| \vec{c} | | \cos θ |$ 是 $\vec{c}$ 在 $\vec{a} \times \vec{b}$ 上看投影的长度，就是平行六面体的高。所以 $| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ 就是平行六面体的体积