向量的混合积是三个向量，先对两个向量做向量积，然后再跟第三个向量做点积，它的结果是一个数。它的几何意义是这三处向量所确定的平行六面体的体积。

笔记下载：向量的混合积 triple scalar product

1，三个向量的混合积我们定义为\[(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\]

2，坐标系下的混合积：在坐标系下，

\[(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\]

对于混合积来说，最重要的结果是三向量共面的条件：

3，定理：三向量共面的充分必要条件是它们的混合积为 \(0\)。即\((\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0\)。

因为 \[|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=|(\vec{a}\times\vec{b}\cdot)\vec{c}|=|\vec{a}\times\vec{b}||\vec{c}|\cos\theta\]若它等于 \(0\)，意味着 \(\vec{c}\) 与 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 垂直，也就是它在 \(\vec{a},\vec{b}\) 所确定的平面上，所以三向量共面。

另外，混合积的绝对值是三个向量为邻边的平行六面体的体积。因为 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) 是以 \(\vec{a},\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积。而 \(|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}|=|\vec{a}\times\vec{b}|\cdot|\vec{c}| |\cos\theta|\)。\(|\vec{c}| |\cos\theta|\) 是 \(\vec{c}\) 在 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 上看投影的长度，就是平行六面体的高。所以\(|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}|\) 就是平行六面体的体积