我们推导空间平面的方程。空间中的平面，如果给定了平面上的一点和平面的法向量，我们就可以推导出平面所满足的方程。这样的方程就是平面的点法式方程。由此我们还可以得到平面的其它几种形式的方程，就是平面的一般式方程或标准方程，还有平面的截距式方程。
1，平面的点法式方程：假设平面 \(\Pi\)过点 \((x_0,y_0,z_0)\) 且垂直于向量 \(\vec{n}=(A,B,C)\)，我们看一下如何推导出平面的方程。
我们知道平面的法向量是 \(\vec{n}=(A,B,C)\)，那么平面上任何一个向量都垂直于法向量。现设平面上任意一点的坐标为 \((x,y,z)\)，那么 这一点与已知一点\((x_0,y_0,z_0)\) 可确定一个平面上的向量 \((x-x_0,y-y_0,z-z_0)\)，它与法向量垂直，根据向量垂直的充分必要条件是两向量的内积为零，所以
\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot(A,B,C)=0\]
这就是平面的点法式方程。我们它展开后，就得到
\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\]这也叫平面的点法式方程。
2，平面的一般式方程：我们可以再把点法式方程展开，我们可以把平面的方程写成如下的形式：
\[Ax+by+Cz=D\]其中 \(D=Ax_0+By_0+Cz_0\)，这种形式的方程就称为平面的一般式方程。
3，平面的截距式方程：在一般式方程里，将两边除以 \(D\)，就得到了
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\]这里 \(a,b,c\)就是平面在三个坐标轴上的截距。
对于平面方程的求法，我们只需要知道平面上的一点与它的法向量，就可以求出它的方程。但很多时候，这些信息不会直接给出，就需要我们来找到这些信息。我们来看一些求平面方程的例子。
例1：设平面过点 \((2,0,1)\) 且垂直于过两点 \((1,1,0)\) 和 \((4,-1,2)\)的直线，求该平面的方程。
解：我们已经知道平面上的一点。但没有直接给出法向量，但是平面垂直于一直线，很显然，这个直线的方向向量就可以作为平面的法向量。这条直线过两点，所以两点组成的向量就是直线 的方向向量。所以我们可以取
\[\vec{n}=(4,-1,2)-(1,1,0)=(3,-2,2)\]由平面的点法式方程，我们得到平面的方程为
\[3(x-2)-2y+2(z-1)=0\]
例2：某平面过点 \(P(1,3,2), Q(3,-1,6)\) 和 \(R(5,2,0)\)，求该平面的方程。
解：我们知道三点可以确定两个向量，这两个向量都在平面上。那么平面的法向量怎么求？
我们知道两个向量的叉积同时垂直于这两个向量，所以如果知道平面上的两个向量，那么对这两个向量作叉积，就可以得到平面的法向量了。
我们有\[\vec{PQ}=(2,-4,4), \vec{PR}=(4,-1,-2)\]所以平面的法向量可以取
\[\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-4&4\\ 4&-1&-2\end{vmatrix}=(12,20,14)\]所以平面的方程为
\[12(x-1)+20(y-3)+14(z-2)=0\]整理一下，方程可写成\[6(x-1)+10(y-3)+7(z-2)=0\]
在最后，我们定义两平面的夹角。两平面之间的夹角定义为它们法向量之间的夹角。即\[\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]