这里我们推导柱面与旋转面的方程。将平面的曲线绕其中一个坐标旋转，我们就得到了旋转面的方程。而将平面曲线的每一个点，作垂直于平面的直线，所有的这些直线的集合就是柱面。空间解析几何里，柱面的方程总是少一个变量。而少了的那一个变量就是跟柱面平行的坐标轴。

笔记下载：柱面和旋转面的方程

1，柱面：我们知道在二维空间也就是平面上， \(y=f(x)\) 或者 \(F(x,y)=0\) 就表示一条曲线，但是在三维空间，这个式子表示一个柱面。事实上，任何只有两个变量的方程，在三维空间中都表示一个柱面。

因为，空间中任何一点 \((x,y,z)\)，只要满足 \(y=f(x)\) 或者 \(F(x,y)=0\) ，不管 \(z\) 取什么值，都在这个曲面上。当我们取遍 \(z\) 值，就得到了一条过 \((x,y,0)\) 点，平行于 \(z\) 轴的直线。平面上的曲线 \(y=f(x)\) 上的每一个点都对应着这样一条直线，所有的这些直线的集合，这就是一个柱面。这样的直线称为柱面的直母线，而平面曲线 \(y=f(x)\) 称为柱面的准线。

柱面的方程里，缺少的那个变量，就是与直母线平行的轴。

例：\(y=x^2, 2x+3y=1,x^2+y^2=9\) 在空间中，都是柱面。它们分别是抛物柱面，平面和圆柱面。准线分别是抛物线、直线和圆。

柱面的画法：假设柱面的方程为\(y=f(x)\)，则先在 \(xOy\) 平面画出准线 \(y=f(x)\)，然后在 \(xOy\) 平面上方，平行地画一个同样的曲线，然后用平行于 \(z\) 轴的直线将这两条曲线连接起来就可以了。

2，旋转面。我们将\(z=f(x)\) 绕 \(z\) 轴旋转一圈，看看会得到什么方程。

首先，这个曲线上一点 \((x_0, f(x_0))\) 旋转以后的轨迹是一个圆。它半径为 \(|x_0|\)。因为是绕 \(z\) 轴旋转，所以 \(z\) 的坐标不变，还是 \(f(x_0)\)。这个圆的半径为 \(|x_0|\)，\((x,y)\) 的坐标满足 \(x^2+y^2=x_0^2\)，所以 \(z=f(x_0)\) 变成了 \(z=f(\pm\sqrt{x^2+y^2})\) 因为 \(x_0=\pm\sqrt{x^2+y^2}\)。

旋转面的画法：先在 \(yOz\) 平面画出曲线 \(z=f(y)\)，然后在曲线顶部绕 \(z\) 轴画一个圆，在曲线底部绕 \(z\) 轴画一个圆，在 \(yOz\) 平面与原曲线对称的地方画一个对称的曲线连接顶部和底部的圆，就是旋转曲面了。

如果曲线本身是用隐函数给出 \(F(x,z)=0\)，则它绕 \(z\) 轴旋转得到的方程为 \(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\)。

同样的， \(y=f(\pm\sqrt{x^2+z^2})\) 表示 \(y=f(x)\) 或者 \(y=f(z)\) 绕 \(y\) 轴旋转。 \(x=f(\pm\sqrt{y^2+z^2})\) 表示曲线 \(x=f(y)\) 或者 \(x=f(z)\) 绕 \(x\) 旋转。

\(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\)：\(F(x,z)\) 或者 \(F(y,z)\) 绕 \(z\) 轴旋转；

\(F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0\)：\(F(x,z)\) 或者 \(F(x,y)\) 绕 \(x\) 旋转；

\(F(y,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0\)：\(F(y,z)\) 或者 \(F(x,y)\) 绕 \(y\) 旋转；

例2： \(z=x^2\) 绕 \(z\)轴旋转所得的旋转面方程为 \(z=x^2+y^2\)。

例3：\(2x^2+2y^2+z^2=1\) 是由 \(2x^2+z^2=1\) 绕 \(z\) 轴旋转而得。\(2x^2+y^2+z^2=1\) 是 由 \(2x^2+z^2=1\) 绕 \(x\) 轴旋转而得。

例4：\(z=\pm\sqrt{x^2+y^2}\) 是由 \(z=x\) 绕 \(z\) 轴旋转而得的锥面。\(x=\pm\sqrt{y^2+z^2}\) 是由 \(z=x\) 绕 \(x\) 轴旋转而得的锥面。