我们通过计算曲顶柱体的体积出发，导出二重积分的定义。并且由定义得出二重积分的一些简单、直观的性质。
笔记下载：二重积分的定义与性质 double integrals
1，二重积分的概念：假设一曲顶柱体，底部为 \(xOy\) 平面区域 \(D\)，顶部为曲面 \(z=f(x,y), (x,y)\in D\)。我们如何求它的体积？
我们用 \(x=\)常数， \(y=\)常数 将区域 \(D\) 分割成一块块很小的区域 \(D_1, D_2, \cdots, D_n\)，在每一个这样的小区域上做一个小的曲顶柱体，我们在这个曲顶柱体的顶上找一点 \(f(\xi_i,\eta_i)\)，以此点的值作为长方体的高，以曲顶柱体的底作为长方体的底。
那么第 \(i\) 个曲顶柱体的体积，就可以用我们刚才作出来长方体的体积来近似
\[\Delta V_i\approx f(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=f(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]其中 \(\Delta A_i\) 为区域 \(D_i\) 的面积。因为我们对区域是用平行于坐标轴的直线分割的，所以 \(\Delta A_i\) 可以表示成 \(\Delta A_i=\Delta x_i\Delta y_i\)。所以曲顶柱体体积的近似值为
\[V=\sum_{i=1}^n\Delta V_i\approx \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]
当这些两个方向的平行线越来越密，\(\Delta x\to 0, \Delta y\to\)，从而 \(\Delta A_i\to0\) 时，这个近似值的极限就是曲顶柱体的体积的真实值。也就是
\[V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]
如同一元函数的定积分一样，这里是一个极限和一个和式，这两个符号我们合成一个符号，就是积分号。因为变量是二维的，我们记成二重积分
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\iint_Df(x,y)dA\]或者
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i=\iint_Df(x,y)dxdy\]
从重积分的定义， 我们可以得到重积分的以下一些性质：
2，重积分的性质：
- 常数可以提到积分号外面，即 \[\iint_DCf(x,y)dA=C\iint_Df(x,y)dA\]
- 和、差的积分等于积分之和、差。\[\iint_D(f(x,y)\pm g(x,y))dA=\iint_Df(x,y)dA\pm\iint_Dg(x,y)dA\]
- 若区域 \(D\) 可以分解成两部分之和，\(D=D_1+D_2\)，则 \[\iint_Df(x,y)dA=\iint_{D_{1}}f(x,y)dA+\iint_{D_2}f(x,y)dA\]
- \(1\) 的积分就是区域 \(D\) 的面积，即 \[\iint_D1dA=A\]其中 \(A\) 为区域 \(D\) 的面积。可以理解为，底面积为 \(A\) ， 高为 \(1\) 的立体的体积，在数值上与它的底面积一样。
- （比较定理），若 \(f(x,y)\le g(x,y), (x,y)\in D\)，则有 \[\iint_Df(x,y)dA\le\iint_Dg(x,y)dA\]我们只需要在积分的定义里面，用 \(g(x,y)-f(x,y)\) 来代替 \(f(x,y)\) 即可。
- （绝对值的积分）由上面的比较定理，可以直接得到\[\left|\iint_Df(x,y)dA\right|\leq \iint_D|f(x,y)|dA\] 这是因为 \(-|f(x,y)|\leq f(x,y)\leq |f(x,y)|\)，再结合上一个性质可以得到。
- 若 \(m\le f(x,y)\le M, (x,y)\in D\)，则有估值定理 \[mA\le\iint_Df(x,y)\le MA\]直接应用上一个性质，就可以得到这个结论。
- （中值定理）：至少存在一点 \((x_0, y_0)\in D\)，使得\[\iint_Df(x,y)dA=f(x_0,y_0)A\]证明：由估值定理，\[mA\le\iint_Df(x,y)\le MA\]可以得到 \[m\le\frac{1}{A}\iint_Df(x,y)\le M\]由连续函数的介值定理，介于 \((m,M)\) 之间的任一数 \(c\)，都存在一点 \((x_0,y_0)\in D\)，使得 \(c=f(x_0,y_0)\)，令 \(c=\frac{1}{A}\iint_Df(x,y)\) 就得到了结论。