计算二重积分时，有时候用某种次序没有办法计算出结果或者用这种次序计算较复杂，就要考虑交换积分的顺序。这个视频讲解了怎么样交换积分的顺序，以使得计算二重积分变成可能或者更简单。

笔记下载：交换积分次序 interchange the order of integration

例1：计算二次积分 \[\int_0^1\int_{4x}^4e^{-y^2}dydx\]

解： 我们看到，如果先积分 \(y\)，则无法积分， 因为我们不知道 \(e^{-y^2}\) 的原函数是谁。所以考虑交换积分次序。我们先画出积分区域的图形。

根据积分上下限，我们知道积分区域可以写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le 1, 4x\le y\le 4\}\)，所以上曲线为 \(y=4\)，下曲线为 \(y=4x\)，所以图形为

根据我们所得的图形，我们可以将区域的表达式写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le\frac{1}{4}y\}, 0\le y\le 4\)，所以积分可以写成

\[\int_0^1\int_{4x}^4e^{-y^2}dydx=\int_0^4\int_{0}^{\frac{y}{4}}e^{-y^2}dxdy=\int_0^4\frac{1}{4}ye^{-y^2}dy=-\frac{1}{8}e^{-y^2}\Big|_0^4=\frac{1}{8}(1-e^{-16})\]

例2：计算积分 \[\int_0^2\int_{\frac{y}{2}}^1\cos(x^2)dxdy\]

解：与前面的例题一样，先积分 \(x\) 的话，我们不知道 \(\cos x^2\) 的原函数是谁。所以考虑交换积分次序。我们根据积分上下限，得到积分的区域为 \(D=\{(x,y)|\frac{y}{2}\le x\le 1, 0\le y\le 2 \}\)，画出积分的区域如图：

交换积分次序，我们先将区域写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le 1, 0\le y\le 2x\}\)，所以积分变成

\[\int_0^2\int_{\frac{y}{2}}^1\cos(x^2)dxdy=\int_0^1\int_{0}^{2x}\cos(x^2)dydx=\int_0^12x\cos(x^2)dx=\sin(x^2)\Big|_0^1=\sin 1\]