复习了极坐标的定义，以及二重积分在极坐标下的公式。如果积分区域是圆形区域或者圆形区域的一部分，或者积分区域的边界用极坐标表示更简单，这时候运用极坐标来计算二重积分，会更简单。这里我们给出具体的例子，说明了如何利用极坐标计算二重积分。

笔记下载：极坐标下二重积分的计算 double integrals in polar coordinates

1，极坐标：平面上的一点 \(P(x,y)\) 也可以用极坐标 \(P(r,\theta)\) 来表示，其中 \(r\) 为点 \(P\) 到原点的距离， \(\theta\) 为线段 \(OP\) 与 \(x\) 轴正向的夹角。

根据定义， \(r\ge 0, 0\le\theta\le 2\pi\)，或者 \(-\pi\theta\le \pi\)。 同时，根据极坐标的定义，我们可以得到它们与直角坐标之间的关系：

\[\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin \theta\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \theta=\arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\]

利用这些等式，我们可以方便地将曲线由直角坐标形式的方程化成极坐标形式的方程，反之亦然。

2，极坐标下二重积分的计算公式：我们将区域 \(D\) 用 \(r=\)常数 和 \(\theta=\) 常数分割成一个个小的曲边四边形，我们来推导 \(dA\) 的表达式。

我们在小区域 \(\Delta D_i\) 内选取一点 \((r^*, \theta^*)\) ，使得外边的曲边为 \(r^*+\frac{1}{2}dr\)，里层的曲边为 \(r^*-\frac{1}{2}dr\)，那么 \(\Delta D_i\) 的面积为 （外层扇形的面积减去里层扇形的面积）

\[\Delta A_i=\frac{1}{2}(r^*+\frac{1}{2}dr)^2d\theta-\frac{1}{2}(r^*-\frac{1}{2}dr)^2d\theta=r^*drd\theta\]

所以 \[dA=rdrd\theta\]

所以，二重积分在极坐标下的表达式为\[\iint_Df(x,y)dA=\iint_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

3，积分上、下限的确定。对于极坐标下的二重积分来说，确定积分上、下限是比较困难的一件事。首先，积分的顺序一般是先积分 \(r\)，再积分 \(\theta\)。确定 \(r\) 的上、下限基本的方法是：从原点引一条射线，穿过区域，进入区域的曲线为下限，离开区域的曲线为上限；确定 \(\theta\) 的上、下限的方法是：将此射线在区域内摆动，最小的角度为下限，最大的角度为上限。

（1）若区域不包含原点， \(D=\{(r,\theta)|\theta_1\le \theta\le \theta_2, r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\)，则二重积分可化成二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

（2）若原点在区域的边界上，则 \(D=\{(r,\theta)|\theta_1\le \theta\le \theta_2, 0\le r\le r(\theta)\)，二重积分可化为二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

（3）若原点在区域内部，则 \(D=\{(r,\theta)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le r(\theta)\)，二重积分可化为二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]