首先我们给出了柱坐标的定义，然后推导了柱坐标下三重积分的公式，最后用具体的例子讲述了如何利用柱坐标计算三重积分。如果三重积分的积分区域在 \(xy\) 平面上的投影是圆形区域或者圆形区域的一部分，则运用柱坐标计算会简便些。

笔记下载：柱 坐标下三重积分的计算 triple integrals in cylindrical coordinates

1，柱坐标： 我们可以用柱坐标 \((\rho, \theta,z)\) 表示空间中的任意一点，其中\(\rho,\theta\) 是这一点投影到 \(xOy\) 平面的极坐标，\(z\) 为这一点在 \(z\) 轴的直角坐标。可以这么说，柱坐标就是极坐标加上一个直角坐标。

由柱坐标的定义，我们知道柱坐标与直角坐标之间的关系为：

\[\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z\end{cases},\qquad \begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\begin{cases}\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\\ z=z\end{cases}\]

2，柱坐标下的三重积分表达式：由极坐标的关系 \(dA=rdrd\theta\) 我们知道在柱坐标下， \[dV=dAdz=\rho d\rho d\theta dz\]

所以三重积分在柱坐标下的表达式为 \[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta, z)\rho d\rho d\theta dz\]

3，适用范围：积分区域为圆柱面或者圆柱面的一部分；积分区域在平面上的投影为圆。这几种情形应用极坐标计算会比较简便。我们来看一些例题。

例2：计算立体的体积，其中立体是由 \(x^2+y^2+z^2=25\) ，\(x^2+y^2=9\) 及 \(z=0\) 所围成的上半部分。

解：我们知道，\(x^2+y^2=9\) 是圆柱体。所以这个立体在 \(xOy\) 平面的投影是一个圆。\[V=\{(\rho,\theta, z)|0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq\rho\leq 3, z\leq0\leq\sqrt{25-\rho^2}\}\]

所以立体的体积为

\begin{align*}V&=\iiint_V1dV=\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_0^{\sqrt{25-\rho^2}}\rho dz d\rho d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\rho z\Big|_0^{\sqrt{25-\rho^2}}d\rho d\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}(\rho\sqrt{25-\rho^2})d\rho d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}(-\frac{1}{3}(25-\rho^2)^{\frac{3}{2}})\Big|_0^3d\theta=\frac{1}{3}\cdot 61\theta\Big|_0^{2\pi}\\&=\frac{122\pi}{3}\end{align*}

例2：计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_VzdV\)，其中 \(V\) 是由 \(z=x^2+y^2\)，\( z=4\)所围成的产体。

解：\(z=4\) 与 \(z=x^2+y^2\) 的交线是 \(x^2+y^2=4\)，这是投影区域的最大面积。又从柱坐标与直角坐标之间的关系，我们有 \(x^2+y^2=\rho^2, dV=dz\rho d\rho d\theta\)，所以积分区域为

\[V=\{(\rho,\theta,z)|0\le\theta\le \frac{\pi}{2}, 0\le \rho\le 2, \rho^2\le z\le 4\}\]

从而三重积分为

\begin{align*}\iiint_VzdV&=\int_0^{2\pi}\int_{0}^2\int_{\rho^2}^1z\rho dz d\rho d\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^2\frac{1}{2}\rho z^2\Big|_{\rho^2}^4d\rho d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^2\frac{1}{2}\rho(16-\rho^4)d\rho d\theta=\int_0^{2\pi}\left(4\rho^2-\frac{1}{12}\rho^6\right)\Big|_0^4d\theta \\&=\left(16-\frac{1}{12}\cdot 64\right)\theta\Big|_0^{2\pi}=\left(16-\frac{1}{12}\cdot 64\right)\cdot 2\pi\\&=\frac{64}{3}\pi\end{align*}