运用球坐标计算三重积分的方法。我们首先讲解了什么是球坐标，然后给出球坐标下三重积分的计算公式。事实上，如果积分区域是球体或者球体的一部分，那么在球坐标下计算三重积分会简单些。我们运用具体例子讲解了如何利用球坐标计算三重积分。

笔记下载：球坐标下三重积分的计算 triple integrals in spherical coordinates

1，球坐标：空间中的一点 \(P\) 可以用球坐标 \((r,\theta,\phi)\) 来表示它的位置。其中 \(r\) 表示 \(P\) 点到原点的距离， \(\phi\) 表示向量 \(\vec{OP}\) 与 \(z\) 轴单位向量 \(\vec{k}\) 的夹角，\(\theta\) 为 \(OP\) 在 \(xOy\) 平面上的投影与 \(x\) 轴正向之间的夹角。

从上面的定义，我们可以得到各个变量的取值范围： \(r\ge 0, 0\le\phi\le \pi, 0\le\theta\le 2\pi\) 。球坐标系与直角坐标系的关系为

\[\begin{cases}x=r\sin\phi\cos\theta\\ y=r\sin\phi\sin\theta\\ z=r\cos\phi\end{cases}, r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

2，球坐标下的三重积分：我们用 \(r=\)常数，\(\phi=\)常数，\(\theta=\)常数将积分区域划分成很小的一块块，在每一个小块上计算它们的体积（这里我们不做详细推导了），然后每一个小块上，函数可以用小块上任一一点处的函数值来近似。每一个小块的体积近似于 \[\Delta V_i=r_i^{*2}\sin\phi_i^* drd\phi d\theta\]所以 \[dV=r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

所以，三重积分可以表示为

\[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi)r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

3，球坐标下的三重积分的计算：主要是如何将三重积分化成三次积分来计算，而关键是如何确定积分的上、下限。

我们从原点引一条射线穿过积分区域。射线进入区域的曲面为 \(r\) 的下限，离开区域的曲面为 \(r\) 的积分上限；射线与 \(z\) 轴的最小夹角为 \(\phi\) 的下限，与\(z\) 轴的最大夹角为 \(\phi\) 的上限；射线投影到 \(xOy\) 平面后，与 \(x\) 轴的正向夹角最小者为 \(\theta\) 的下限，最大者为 \(\theta\) 的上限。若区域可以表示成 \[V=\{(r,\phi,\theta)|r_1(\phi,\theta)\le r\le r_2(\phi,\theta), \phi_1\le \phi\le \phi_2, \theta_1\le \theta\le \theta_2\}\]则三重积分为

\[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\int_{r_1(\phi.\theta)}^{r_2(\phi,\theta)}f(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi)r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

我们来看例题。

例1：计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_V(x^2+y^2+z^2)dV\)，其中 \(V\) 是球体 \(x^2+y^2+z^2\le 1\)。

解：球面的方程在球坐标下为 \(r=1\)，又因为球体包含原点，所以我们得到区域的表达式为

\[V=\{(r,\phi,\theta)| 0\le\le 2\pi, 0\le\phi\le \pi, 0\le r\le 1\}\]所以三重积分为

\begin{align*}\iiint_V(x^2+y^2+z^2)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1r^2\cdot r^2\sin\phi dr d\phi d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\phi\cdot \frac{1}{5}r^5\Big|_0^1d\phi d\theta\\ &=\frac{1}{5}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\phi d\phi d\theta\\ &=\frac{1}{5}\int_0^{2\pi}\left(-\cos\phi\right)\Big|_0^{\pi}d\theta\\&=\frac{2}{5}\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{2}{5}\cdot \theta\Big|_0^{2\pi}=\frac{4}{5}\pi\end{align*}

例2：求位于 \(x^2+y^2+z^2=16\) 的下方，\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 上方的立体的体积。

解：曲面 \(x^2+y^2+z^2=16\) 是一个球面，\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 是一个锥面，它是由曲线 \(z=x, z\ge 0\) 绕 \(z\) 轴旋转而成。 \(z=x\) 与 \(z\) 轴的夹角为 \(\frac{\pi}{4}\)，而球面 \(x^2+y^2+z^2=16\) 与 \(z\) 轴的正向有交点，所以我们可以得到 \(0\le \phi\frac{\pi}{4}\)；两个曲面的交线为

\[\begin{cases}x^2+y^2+z^2=16\\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{cases}\quad \Rightarrow\quad x^2+y^2=8\] 是一个圆，包含原点，所以 \(0\le\theta\le 2\pi\)。

因为原点在区域的边界上，所以 \(r\) 的下限为 \(0\)；从原点引一条射线穿过区域，可以知道射线离开区域的曲面为球面 \(x^2+y^2+z^2=16\)，它在球坐标下的表达式为 \(r=4\)，所以 \(r\) 的上、下限为 \(0\le r\le 4\)。从而积分区域可以表示成

\[D=\{(r,\phi,\theta)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le \phi \le \frac{\pi}{4}, 0\le r \le 4\}\]

所以体积为

\begin{align*}V=\iiint_VdV&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^a r^2\sin\phi drd\phi d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\phi\frac{r^3}{3}\Big|_0^4d\phi d\theta=\frac{64}{3}\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\phi d\phi d\theta\\ &=\frac{64}{3}\int_0^{2\pi}(-\cos\phi)\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{64}{3}(1-\frac{\sqrt2}{2})\int_0^{2\pi}d\theta\\ &=\frac{128\pi }{3}(1-\frac{\sqrt2}{2})\end{align*}

我们来看一个从直角坐标下的积分转换成球坐标的积分方法。

例3，计算积分\[\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z^2\sqrt{x^2+y^2+z^2}dzdydx\]

解：我们从 \(z\) 的上限可以看到，\(z=\sqrt{4-x^2-y^2}\) 就是方程 \(x^2+y^2+z^2=4\)，它是一个球面。而 \(z\) 的下限是 \(0\)，所以立体应该就是上半球。而 \(y\) 的上、下限就是球面 \(x^2+y^2+z^2=4\) 在 \(xOy\) 平面的投影 \(x^2+y^2=4\)。所以这个立体就是上半球 \(x^2+y^2+z^2\leq 4, z\geq 0\)。化成球坐标就是

\[V=\{(r,\phi.\theta)|0\leq \theta \leq 2\pi, 0\leq \phi\leq \frac{\pi}{2}, 0\leq r\leq 2\}\]

所以，上面的积分可以变成

\begin{align*}&\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z^2\sqrt{x^2+y^2+z^2}dzdydx\\ &\qquad =\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2r^2\cos^2\phi\cdot r\cdot r^2\sin\phi dr d\phi d\theta\\ &\qquad =\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\phi\cdot\sin\phi\cdot\frac{1}{6}r^6\Big|_0^2d\phi d\theta\\ &\qquad =\frac{64}{6}\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\phi\sin\phi d\phi d\theta\\ &\qquad=\frac{64}{6}\int_0^{2\pi}\left(-\frac{1}{3}\cos^3\phi\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{64}{18}\cdot\theta\Big|_0^{2\pi}\\&\qquad =\frac{64}{9}\pi\end{align*}