函数的微分可以认为是函数增量的近似。df = f'(x)dx ，函数的微分是 x 和dx 两个变量的函数。

笔记下载：函数的微分 differentials

1,函数的微分。我们定义函数 \(y=f(x) \) 的微分为 \[dy=f'(x)dx\]

从代数形式上看，我们有 \[\frac{dy}{dx}=f'(x)\Rightarrow dy=f'(x)dx\]

2，微分的正式定义：如果

\[f(x+\Delta x)=f(x)+A\Delta x+o(\Delta x)\]这里 \(o(\Delta x)\) 的意思是

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0\]那么 \(df=f'(x)dx\) 就称为函数 \(f(x)\) 在 \(x\) 的微分。由导数的定义，我们可以得到 \(A=f'(x)\)，所以 \(df=f'(x)dx\)。

从几何上看，如果我们记 \(dx=\Delta x\)，那么 \(dy=f'(x)dx\) 就是切线的增量。我们前面求函数的近似值，实际上就是用切线的增量来近似函数的增量。

我们以前把 \(\frac{dy}{dx}\) 看成是一个整体， 表示函数的导数。现在有了微分的定义以后，\(dy\) 和 \(dx\) 就有了各自的意义。\(dx\) 表示自变量的增量，\(dy\) 表示切线的增量，它们的比就是切线的斜率。

另外有了微分的定义以后，我们也把导数 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\)叫做函数的微商。

例1，求函数 \(y=\ln(3x^2+1)\) 的微分 \(dy\)。

解：由微分的定义，

\[dy=f'(x)dx=\frac{6x}{3x^2+1}dx\]

例2，求函数 \(y=e^x\) 在 \(x=0\) 处的微分。

解：

\[dy\Big|_{x=0}=f'(0)dx=e^xdx\Big|_{x=0}=e^0dx=dx\]