函数的近似值 linear approximation

我们利用函数的导数来求函数在某一点处的近似值。这种近似叫做线性近似。

首先我们看看这样几个问题：\(\sqrt{24},\sqrt[3]{9},\tan44^{\circ}\) 的值大概是多少？

这是一个求近似值的问题，我们知道 \(\sqrt{24}\) 是个无理数，我们一不知道它的准确值。

1，函数的近似值：函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上，当 \(|\Delta x|\) 很小的时候，我们有\[f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x\]这一点可以从导数的定义得到

因为 \(f'(a)\) 是 \(x=a\) 这一点切线的斜率，那么 \(f'(a)\Delta x\) 就是切线从 \(x=a\) 到 \(x=a+\Delta x\) 部分的增量，它与函数的增量 \(f(a+\Delta x)-f(a)\) 之间非常接近。\(\Delta x\) 越小，它的近似程度越高。

我们记 \[L(a)=f(a)+f'(a)\Delta x, \text{或者} L(x)=f(x)+f'(x)\Delta x\] 它们称为函数的线性近似函数。也就是说 \[f(x+\Delta x)\approx L(x)\]

现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。

例1：求 \(\sqrt{24}\) 的近似值。

解：我们令 \(f(x)=\sqrt{x}\)，则我们可以取 \(a=25\)，那么 \(\Delta x=-1\)。\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f'(25)=\frac{1}{10}=0.1, f(25)=5\)。所以

\[f(24)\approx f(25)+f'(25)\Delta x=5+\frac{1}{10}\cdot (-1)=4.9\]

也就是说， \(\sqrt{24}\approx 4.9\)。我们可以用计算器验算一下它的真实值：4.898979… ,可以看到它们之间的误差非常小。

例2：求 \(\tan44^{\circ}\) 的近似值。

解：我们可以设 \(f(x)=\tan x\)， \(a=45^{\circ}=\frac{\pi}{4},\Delta=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}\)。我们知道 \(f(\frac{\pi}{4})=\tan\frac{\pi}{4}=1\)，\(f'(x)=\sec^2x\)，\(f'(\frac{\pi}{4})=\sec^2\frac{\pi}{4}=2\)，所以\[\tan44^{\circ}\approx\tan\frac{\pi}{4}+\sec^2\frac{\pi}{4}(-\frac{\pi}{180})=1-\frac{2\pi}{180}=1-\frac{\pi}{90}\]