由参数方程所确定的函数的导数与通常函数的导数不同，因为自变量与因变量之间的关系是通过一个参数而联系在一起的。这里我们讲解了如何求参数方程所确定的函数的导数。

笔记下载：由参数方程确定的函数的导数 derivatives of functions defined by parametric equations

假如函数 $y=f(x)$ 由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}\alpha \le t\le \beta ,$$给出，我们如何求导数 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$？

我们有如下的结论：

若 $\varphi (t),\psi (t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上可微， ${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$，则$$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$$

这个结论可以用代数方式直观（不严格）地证明：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$$

也可以用导数的定义来证明：

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}}{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$$

这里因为 $x=\varphi (t)$ 是可微的，所以也是连续的，当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时， $\mathrm{\Delta }t\to 0$。

我们来看两个例题。

例1，设 $y=f(x)$ 由参数方程 $$\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=a\sin t\end{array}0\le t\le 2\pi ,$$ 求 $\frac{dy}{dx}$。

解：由参数方程的求导公式， 我们有

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(a\sin t{)}^{\prime }}{(a\cos t{)}^{\prime }}=\frac{a\cos t}{-a\sin t}=-\cot t$$

例2，设曲线由参数方程 $$\{\begin{array}{l}x=t-t^2,\\ y=t-t^3,\end{array}$$ 求 $\frac{dy}{dx}$。

解：由参数方程的求导公式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(t-t^3{)}^{\prime }}{(t-t^2{)}^{\prime }}=\frac{1-3t^2}{1-2t}$$

例3，设曲线由参数方程 $$\{\begin{array}{l}x=\sec t,\\ y=\tan t,\end{array}-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2},$$求曲线在 $(\sqrt{2},1)$ 处的切线方程。

解：由参数方程的求导公式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(\tan t{)}^{\prime }}{(\sec t{)}^{\prime }}=\frac{{\sec }^{2}t}{\sec t\cdot \tan t}=\frac{\sec t}{\tan t}=\frac{1}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=frac1\sin t=\csc t$$

当 $x=\sqrt{2},y=1$ 时，$t=\frac{\pi }{4}$，所以 $\frac{dy}{dx}{|}_{\frac{\pi }{4}}=\csc \frac{\pi }{4}=\sqrt{(}2)$。所以曲线在$(\sqrt{2},1)$ 处的切线方程为

$$y-1=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})$$