我们利用反函数的求导法则导出反三角函数的求导公式。在最后，总结 了基本初等函数的求导公式，包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数以及反三角函数的求导公式。

笔记下载：反三角函数的导数 derivatives of inverse trigonometric functions

1，反函数求导法则。设 \(y=f^{-1}(x)\)，我们有 \[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

2，反三角函数的求导公式：我们运用反函数的求导公式来推导反三角函数的求导公式。

例1：求\(y=\arcsin x\) 的导数。

解：因为 \(y=\arcsin x=\sin^{-1}(x)\)，它是 \(\sin x\) 的反函数，而 \((\sin x)’=\cos x\)。由反函数求导公式，\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}\] 因为 \(\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

例2：求\(y=\arccos x\) 的导数。

解：因为 \((\cos x)’=-\sin x\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}\] 因为 \(\sin x=\sqrt{1-\sin^2 x}\)，所以\[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\cos^{-1}x)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

例3：\(y=\arctan x\) 的导数。

解：因为 \((\tan x)’=\sec^2(x)\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\sec^y}=\frac{1}{\sec^2 (\tan^{-1}(x))}\] 因为 \(\sec^2 x=1+\tan^2x\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2(\tan^{-1}(x))}=\frac{1}{1+\tan^2(\tan^{-1}x)}=\frac{1}{1+x^2}\]

同样的方法，我们可以求得 \((\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\)。

3，反三角函数的求导公式。从上面我们计算所得，我们有了四个反三角函数的求导公式。

\[(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2},\quad (\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\]

例5，\(y=\arctan(\ln x)\)，求 \(y’\)。

解：\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\ln^2x}\cdot \frac{1}{x}\]

例6，\(y=\sin^{-1}(e^{x^2+2x})\)，求 \(y’\)

解： \[y’=\frac{1}{\sqrt{1-(e^{x^2+2x})^2}}\cdot e^{x^2+2x}\cdot(2x+2)=\frac{e^{x^2+2x}\cdot(2x+2)}{\sqrt{1-e^{2x^2+4x}}}\]

4，基本求导公式：我们现在基本上有了完整的基本求导公式。

\begin{align*}&(x^n)’=nx^{n-1}\\ & (\sin x)’=\cos x\\ &(\cos x)’=-\sin x \\ &(\tan x)’=\sec^2x\\ &(\cot x)’=-\csc^2x\\ &(\sec x)’=\sec x \tan x\\ &(\csc x)’=-\csc x\cot x\\ &(e^x)’=e^x\\ &(a^x)’=a^x\ln a\\ &(\ln x)’=\frac{1}{x}\\ &(\log_ax)’=\frac{1}{x\ln a}\\ &(\sin^{-1}x)’=(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(\cos^{-1}x)’=(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(\tan^{-1}x)’=\frac{1}{1+x^2}\\ &(\cot^{-1}x)’=-\frac{1}{1+x^2}\end{align*}

这些是我们的基本求导公式，我们应当记住。