我们利用隐函数求导法则，导出反函数的求导法则。举例说明了在一点处的反函数的导数的求法及注意事项。

笔记下载：反函数求导法 derivatives of inverse functions

我们可以用隐函数的求导法则来推导反函数求导法。

1，反函数求导法则。设 \(y=f^{-1}(x)\)，我们如何求 \(\frac{dy}{dx}\)？

因为\(y=f^{-1}(x)\)，所以 \(x=f(y)\)，两边对 \(x\) 求导，利用隐函数求导法，我们有 \[1=f'(y)\frac{dy}{dx}\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

这个公式的推导不难，难的是如何应用它，特别在求反函数在某一点处的导数的时候。

例1：设 \(f(x)=2x+\cos x\)，求 \((f^{-1})'(1)\)。

解：设 \(y=f^{-1}(x)\)，那么 \[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

因为 \(f'(x)=2-\sin x\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{2-\sin y}\]

现在的问题是，我们代什么值进去，如何代值进去。分母里面 \(f^{-1}(1)\) 的值如何算。因为 \(y=f^{-1}()1\)，也就是说 \(f(y)=1\)，\(2y+\cos y=1\)，我们得到 \(y=0\)，所以

\[(f^{-1})'(1)=\frac{1}{2-\sin 0}=\frac{1}{2}\]

例2，设 \(f(x)=9-x^2, 0\leq x\leq 3\)，求 \((f^{-1})'(8)\)。

解：\(f'(x)=-2x\)，所以由反函数求导公式，

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2y}\]

由 \(y=f^{-1}(8)\)，得到 \(f(y)=8\)，\(9-y^2=8\)，所以 \(y=1\)。由此

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2y}=-\frac{1}{2}\]