相关变化率 (related rates) 就是，$y=f(x)$， 而 $x=g(t)$，当我们知道 $dx/dt$ 时，如何求 $dy/dt$ ，就是 $y$ 关于 $t$ 的变化 率。这个问题本质上是 chain rule 的一个应用。

笔记下载：相关变化率 related rates

相关变化率一般跟实际问题联系在一起。我们经常需要先确定变量之间的关系，然后利用复合函数求导法则，求出相关变化率。

例1：已知 $y=x^3+2x$，$\frac{dx}{dt}=5$，求 $\frac{dy}{dt}{|}_{x=2}$。

解：我们知道 $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}$$

当 $x=2$ 时，$$\frac{dy}{dt}{|}_{x=2}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}{|}_{x=2}=(3\cdot 4+2)\cdot 5=70$$

例2：10 米长的梯子，靠在墙上，如果梯子底部以 1米/秒的速度滑离墙面，问当梯子底部离墙 6 米远的时候，梯子顶部下降的速度。

解：由勾股定理，我们知道

$x^2+y^2=100$，现在我们知道 $\frac{dx}{dt}=1$，当 $x=6$ 时，$y=8$。我们来求 $\frac{dy}{dt}$。我们对方程 $x^2+y^2=100$ 两边对 $t$ 求导，就有

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0,\Rightarrow 2\cdot 6\cdot 1+2\cdot 8\cdot \frac{dy}{dt}=0$$

解出 $\frac{dy}{dt}$，我们得到 $$\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}$$

所以梯子顶部下降的速度是 $\frac{3}{4}$ 米/秒。