相关变化率 (related rates) 就是，\(y=f(x)\)， 而 \(x=g(t)\)，当我们知道 \(dx/dt\) 时，如何求 \(dy/dt\) ，就是 \(y\) 关于 \(t\) 的变化 率。这个问题本质上是 chain rule 的一个应用。

笔记下载：相关变化率 related rates

相关变化率一般跟实际问题联系在一起。我们经常需要先确定变量之间的关系，然后利用复合函数求导法则，求出相关变化率。

例1：已知 \(y=x^3+2x\)，\(\frac{dx}{dt}=5\)，求 \(\frac{dy}{dt}\Big|_{x=2}\)。

解：我们知道 \[\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}\]

当 \(x=2\) 时，\[\frac{dy}{dt}\Big|_{x=2}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}\Big|_{x=2}=(3\cdot 4+2)\cdot 5=70\]

例2：10 米长的梯子，靠在墙上，如果梯子底部以 1米/秒的速度滑离墙面，问当梯子底部离墙 6 米远的时候，梯子顶部下降的速度。

解：由勾股定理，我们知道

\(x^2+y^2=100\)，现在我们知道 \(\frac{dx}{dt}=1\)，当 \(x=6\) 时，\(y=8\)。我们来求 \(\frac{dy}{dt}\)。我们对方程 \(x^2+y^2=100\) 两边对 \(t\) 求导，就有

\[2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0,\quad \Rightarrow 2\cdot 6\cdot 1+2\cdot 8\cdot\frac{dy}{dt}=0\]

解出 \(\frac{dy}{dt}\)，我们得到 \[\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}\]

所以梯子顶部下降的速度是 \(\frac{3}{4}\) 米/秒。