隐函数，就是函数关系通过一个方程给出的函数。隐函数的求导方法是：将方程两边关于自变量求导，将因变量看成自变量的函数应用复合函数求导法则(chain rule)，然后求出因变量关于自变量的导数的方法。

笔记下载：隐函数求导法 implicit differentiation

我们之前所见到的函数，都是显函数，就是形如 \(y=f(x)\) 的函数， \(y\) 可以表示成 \(x\) 的具体表达式。但是有一些函数，它们之间的关系不是用一个等式给出，而是用一个方程给出，这种函数关系叫做隐函数。例如

\(y=2x^3+\sin x-5\ln x\) 是显函数。而 \(x^2+y^2-e^y=1\) 就是隐函数。

有些隐函数可以化成显函数，有些不可以。有些虽然可以，但不是很实用。所以我们需要能够直接对隐函数进行求导的方法。这就是隐函数求导法。

隐函数求导法：我们对方程两边对 \(x\) 求导，在求导的过程中，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，利用复合函数求导公式，最后解出 \(\frac{dy}{dx}\)。

我们来看一下如何利用隐函数求导法。

例1：设 \(xy=1\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：方程两边两边对 \(x\) 求导，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，我们有

\[y+x\frac{dy}{dx}=0, \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\]

例2：设 \(x^2+y^2=1\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：我们对方程两边对 \(x\) 求导，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，我们有 \[2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0\]所以 \[\frac{dy}{dx}’=-\frac{x}{y}\]

例3：\(\sin(xy)+xe^{xy^2}=1\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：两边对 \(x\) 求导， 我们有

\[\cos(xy)\cdot(y+xy’)+e^{xy^2}+xe^{xy^2}(y^2+2xyy’)=0\]移项得

\[\frac{dy}{dx}\cdot(x\cos(xy)+2x^2ye^{xy^2})=-y\cos(xy)-e^{xy^2}-xy^2e^{xy^2}\]

所以\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x\cos(xy)+2x^2ye^{xy^2}}{y\cos(xy)-e^{xy^2}-xy^2e^{xy^2}}\]

例3：设曲线由方程 \(x^3+y^3-9xy=0\) 给出，求该曲线在点 \((2,4)\) 处的切线方程。

解：方程两边对 \(x\) 求导，我们有

\[3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-9y-9x\frac{dy}{dx}=0\]所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{9y-3x^2}{3y^2-9x}\] 所以我们有 \[\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,4)}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\]所以切线的方程为 \[y-4=\frac{4}{5}(x-2)\]