我们利用导数来研究函数的增减性。事实上，函数的导数为正的时候，函数本身是单调增加的；函数的导数为负的时候，函数本身是单调减少的。
笔记下载：函数的增减 increasing and decreasing
我们将上面的结论叙述成定理。
1，定理：若在某区间内 \(f'(x)>0\)，则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调增加；若若在某区间内 \(f'(x)<0\)，则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调减少。
证明：若 \(f'(x)>0\)，则由导数的定义
\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] 知道，
（1）当 \(h>0\) 时，\(x+h>x\)， \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>0\) 意味着 \(f(x+h)-f(x)>0\)，也就是说 \(f(x+h)>f(x)\)，函数增加；
（2）当 \(h<0\) 时，\(x+h<x\)， \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>0\) 意味着 \(f(x+h)-f(x)<0\)，也就是说 \(f(x+h)<f(x)\)，函数增加。
所以不管怎样，函数都是单调增加的。同样可以证明当 \(f'(x)<0\) 时，函数是单调减少的。
例1，设 \(y=5+12x-x^3\)，求函数的增减区间。
解：因为 \(y’=12-3x^2=3(4-x^2)\)，我们令 \(y’=0\)，得到 \(x=\pm 2\)。这两个点将整个实数轴分成三个区间。由函数的连续性，每个区间的符号是一样的。我们只需要在每个区间上用一个 \(x\) 的值来测试，就可以得到 \(f'(x)\) 的符号。
因为 \[f'(-3)=-15<0, f'(0)=12>0, f(3)=-15<0,\]所以可以得到 ：
\(f(x)\) 在区间 \((-\infty,-2)\cup (2,\infty)\) 上是单调增加的； 在区间 \((-2,2)\) 上是单调减少的。
例2，设\(f(x)=\frac{x}{x^2+2}\)，求函数 的增减区间。
解：我们有 \[f'(x)=\frac{x^2+2-x\cdot 2x}{(x^2+2)^2}=\frac{2-x^2}{(x^2+2)^2}\]
令 \(f'(x)=0\)，得到 \(x=\pm\sqrt{2}\)。与上一个例题一样的方法，我们用几个数值来测试 \(f'(x)\) 的符号。
\[f'(-2)=\frac{-4}{36}<0, f'(0)=\frac{2}{4}>0,f'(2)=\frac{-4}{36}<0,\]所以我们可以得到：
\(f(x)\) 在区间 \((-\sqrt{2},\sqrt{2})\) 上单调增加；在 \((-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty)\) 上单调减少。