函数拐点的定义就是函数凹凸性改变的点。如果函数在某一点左右凹凸性改变，那么这一点就是函数的拐点。我们知道，凹凸性的判定是通过函数的二阶导数实现的，所以拐点的判定也是通过函数的二阶导数来确定。
跟确定函数的极值一样，如果函数的二阶导数 \(f”(x_0)=0\) 或者不存在，且函数的二阶导数 \(f”(x)\) 在 \(x_0\) 两边变号，则 \((x_0,f(x-0))\) 这一点为函数的拐点。
例1，设 \(f(x)=xe^{-x}\)，求函数的凹凸区间和拐点。
解：\[f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x), f^{\prime\prime}(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(-2+x)\]
令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到 \(x=2\)。\(x<2\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，函数是凸的； \(x>2\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，函数是凹的。
因为在 \(x=2\) 两边，\(f^{\prime\prime}(x)\) 变号（两边符号不同），所以，点 \((2,f(2))=(2,2e^{-2})\) 是函数的拐点。
例2，设 \(f(x)=x+2\sin x\)，求函数的拐点。
解：\[f'(x)=1+2\cos x, f^{\prime\prime}(x)=-2\sin x\]
令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到 \(x=n\pi, n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\)。当 \(2m\pi<x<(2m+1)\pi\)时， \(f^{\prime\prime}(x)<0\)，\((2m+1)\pi<x<(2m+2)\pi\)时， \(f^{\prime\prime}(x)>0\)，所以，在每一个 \(n\pi\) 两边，\(f^{\prime\prime}(x)\) 都变号，所以每一个点 \((n\pi,f(n\pi))=(n\pi,n\pi)\) 都是拐点。