我们知道，闭区间上的连续函数必定有最大值与最小值。如果最大值或者最小值在区间内部，则它必定为局部最大值或者最小值。所以最大值与最小值要么在临界点处，要么在端点处。我们只需要将这几个点处的函数值求出来，就得到了区间上的最大值与最小值。

笔记下载：函数的最大值与最小值 absolute maximum and minimum

1，最大值最小值可能点：从前面的几节我们知道，如果最大值最小值在区间内部达到，那么它们必定是函数的极值。所以最大值最小值可能的地方只有两种可能，一种是函数的极值点，另一种就是函数的端点处。

2，最大值最小值的求解步骤：

• 首先求出函数所有的极值；
• 其次把极值与端点处的值比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

3，一个结论：如果区间只有一个极值，那么它必然是最值，另一个最值在端点处。

例1：求函数 \(y=2x^3-3x^2-12x+1\) 在区间 \([-2,3]\) 上的最大值与最小值。

解：（1）函数的一阶导数为 \[f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2)\]令 \(f'(x)=0\)，我们得到两个点 \(x=-1,2\)。

（2）我们用二阶导数来判定两个点是极大还是极小值。

\[f^{\prime\prime}(x)=12x-6\] 代入两个临界点的值， \(f^{\prime\prime}(-1)=-24\)，所以 \(f(-1)=8\) 是极大值； \(f^{\prime\prime}(2)=-19\)，所以 \(f(2)=-19\) 是极小值。

（3）端点处的值：\(f(-2)=-3, f(3)=-8\)，所以 \(f(-1)=8\) 是区间上的最大值；\(f(2)=-19\) 是区间上的最大值。

例2：求函数 \(f(x)=\sin x+\cos x\) 在区间 \([0,\frac{\pi}{3}]\) 上的最大值与最小值。

解：（1）函数的一阶导数为 \[f'(x)=\cos x-\sin x,\] 令 \(f'(x)=0\)，得到 \(x=\frac{\pi}{4}\)。

（2）函数的二阶导数为 \(f^{\prime\prime}(x)=-\cos x-\sin x\)，\(f^{\prime\prime}(\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}<0\)，所以 \(f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\) 是极小值，它是唯一的极值，所以它是区间上的最大值。

（3）端点处的值：\[f(0)=1, f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+\sqrt(3)}{2}\]所以区间上的最小值是 \(f(0)=1\)。