函数的极值 local maximum and minimum

函数的极值，就是局部最大值，就是在一个小的范围内，函数的值取到最大或者最小。确定函数的极值的方法主要有两种，一种是通过函数在临界点（critical points）附近一阶导数的变化情况来确定；另一种是通过函数在临界点处的二阶导数来确定。

函数的临界点是指 \(f'(x)=0\) 的点或者不存在的点。如果函数的一阶导数在临界点两边变号，则临界点必定为函数的极值点。当然这里要求函数在这一点是连续的。

具体来说，

定理1：如果 \(x<x_0, f'(x)<0\)， \(x>x_0, f'(x)>0\)，则 \(f(x_0)\) 为极小值；反之，如果对 \(x<x_0, f'(x)>0\)， \(x>x_0, f'(x)<0\)，则 \(f(x_0)\) 为极大值。

第一种情况是先减少再增加，所以这一点为极小值，第二种情况是先增加后减少，所以为极大值。

第二种方法就是利用函数的二阶导数来判定。

定理2：如果 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f”(x_0)<0\)，则 \(f(x_0)\) 为极大值；反之，如果 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f”(x_0)>0\)，则 \(f(x_0)\) 为极小值。

因为第一种情况，函数在这点斜率为 0 且开口朝下，所以为极大值；第二种情况函数斜率为 0 且开口朝上，所以这一点为极小值。

例1，设 \(f(x)=1+8x-3x^2\)，求它的极值。

解：\(f'(x)=8-6x\)，令 \(f'(x)=0\)，得到 \(x=\frac{4}{3}\)。又因为 \(f^{\prime\prime}(x)=-6<0\)，所以

\[f(\frac{4}{3})=\frac{19}{3}\]

就是函数的极大值。

例2，求函数 \(f(x)=2x+3x^{\frac{1}{3}}\) 的极值。

解：\[f'(x)=2+x^{-\frac{2}{3}}=2+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}>0\]

所以 \(f'(x)=0\) 没有解。但是，\(f'(x)\) 在 \(x=0\) 时没有定义，所以 \(x=0\) 将整个实数轴分成两个部分。但是因为这两个部分上 \(f'(x)>0\)，所以函数没有极值。

例3，求函数 \(f(x)=2x+3x^{\frac{2}{3}}\) 的极值。

解：\[f'(x)=2+2x^{-\frac{1}{3}}=0,\quad x=^{-\frac{1}{3}}=-1, \quad x=-1\]

另外，\(f'(x)\) 在 \(x=0\) 时不存在，所以 \(x=-1,0\) 将函数分成三个部分。在 \(x<-1\) 时， \(f'(x)>0\)；在 \(-1<x<0\) 时，\(f'(x)<0\)，所以 \(f(-1)=5\) 是极大值；\(x>0\) 时， \(f'(x)>0\)，所以 \(f(0)=2\) 是极小值。