我们对函数进行作图的时候，需要了解函数在无穷远处的趋势，以及函数在一些不连续点处的情况，这就需要了解函数的渐近线。我们主要考虑的三种渐近线：水平渐近线（horizontal asymptotes）、垂直渐近线（vertical asymptotes）以及斜渐近线（slant asymptotes）。这三种渐近线都是直线，当然我们也有其它的渐近线，但是其它的渐近线一般不是直线。

笔记下载：函数的渐近线 asymptotes

1，水平渐近线：，若 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\) ，我们就说 \(y=A\) 是函数的水平渐近线（horizontal asymptotes）。

2，垂直渐近线：如果 \(\lim_{x\to a^-f(x)=\pm\infty}\) 或者 \(\lim_{x\to a^+f(x)=\pm\infty}\)，我们就说 \(x=a\) 是函数的垂直渐近线（vertical asymptotes）。

3，斜渐近线：如果 \(\lim_{x\to\infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\)，我们就说 \(y=ax+b\) 是函数的斜渐近线（slant asymptotes）。

斜渐近线的求法：\[a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}, b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)\]

例1，\(f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}\)。求它 的所有的渐近线。

解：因为

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to infty}\frac{2x^2}{x^2-1}=2\]

所以 \(y=2\) 是它的水平渐近线（两个方向都是）.

因为 \(x=\pm 1\) 处函数没有定义，它们可能是垂直渐近线，我们求这两点处的左右极限来确定。

\[\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}=+\infty\]

\[\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}=-\infty\]

所以 \(x=-1\) 是函数的垂直渐近线。

在 \(x=1\) 处，

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}=-\infty\]

\[\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}=+\infty\]

所以 \(x=1\) 也是函数的垂直渐近线。

例2，求函数 \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x+3}\) 的所有渐近线。

解：因为 \[\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\]所以函数没有水平渐近线。又因为分母为正，\(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\)，所以函数连续，没有垂直渐近线。

我们来看有没有斜渐近线，

\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3+2x^2+3x}=1\]

所以 \(a=1\)

\[\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3}{x^2+2x+3}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^3-2x^2-3x}{x^2+2x+3}=-2\]

所以 \(b=-2\)。由此得到函数的斜渐近线为 \(y=x-2\)。

我们这里函数两边的斜渐近线是同一条。有时候函数两边的渐近线不一样，那就需要分别求极限了。