我们利用函数的二阶导数的符号确定函数图形的凹凸性。二阶导数为正的时候，函数本身是凹（concave up，开口朝上）的，反之，二阶导数为负的时候，函数本身是凸的(开口朝下的concave down）
笔记下载：函数的凹凸性 concave up and down
函数的凹凸性可以有多种定义。我们这里采取一种比较容易理解的方式来定义。
1，我们说函数是凹的（concave up），是指函数的切线位于函数的下方。从图形上看，函数的切线的斜率是增加的，也就是说 \(f'(x)\) 增加。由上一节我们知道，函数增加的判断条件是它的导数为正，所以函数是凹的条件是 \(f^{\prime\prime}(x)>0\)。
2，我们说函数是凸的（concave down），是指函数的切线位于函数的上方。从图形上看，函数的切线的斜率是减少的，也就是说 \(f'(x)\) 减少。由上一节我们知道，函数减少的判断条件是它的导数为负，所以函数是凸的条件是 \(f^{\prime\prime}(x)<0\)。
例1，设 \(f(x)=3x^4-4x^3\)，求函数的凹凸区间。
解：因为 \[f'(x)=12x^3-12x^2,\quad f^{\prime\prime}(x)=36x^2-24x\]
令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到
\[36x^2-24x=12x(3x-2)=0,\quad x=0,\frac{2}{3}\]
\(x<0\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，函数是凹的； \(0<x<\frac{2}{3}\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，函数是凸的；\(x>\frac{2}{3}\) 时， \(f^{\prime\prime}(x)>0\)，函数是凹的。所以
\((-\infty,0)\cup(\frac{2}{3},\infty)\) 上，函数是凹的；\((0,\frac{2}{3})\) 上，函数是凸的。
例2，设 \(\displaystyle f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x\)，求函数的凹凸区间。
解：\[f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-1,\quad f^{\prime\prime}(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{4}{3}}=-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}\]
所以，除了在 \(x=0\) 处二阶导数不存在外，其它的所有地方，二阶导数都是负的，所以函数在 \((-\infty,0)\cup(0,\infty)\) 上是凸的。