有了函数的一阶导数与二阶导数，我们就可以知道函数的增减区间、凹凸区间、极值、拐点等等，有了这些，函数的图像基本上就可以确定了。再加上函数的定义域、渐近线，函数的图形就完全可以画出来了。

笔记下载：函数作图 curve sketching

函数作图的步骤：

1. 确定函数的定义域，以及它的一些性态：对称性，周期性等等；
2. 确定函数的渐近线；
3. 求函数的一阶导数，确定它的增减区间及极值；
4. 求函数的二阶导数，确定它的凹凸区间与拐点；
5. 添加一些重要的点，如函数与坐标轴的交点等等。
6. 画图。

例1：作函数 \(y=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\)的图形。

解：（1）函数的定义域为整个实数轴 \(x\in\mathbb{R}\)；

（2）渐近线：\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}=1,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}=1\]所以函数有水平渐近线 \(y=1\)。

（3）一阶导数。\[f'(x)=\frac{2(x+1)(x^2+1)-2x(x+1)^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\]

令 \(f'(x)=0\)，我们得到两个点 \(x=\pm 1\)。当 \(x<-1\) 时，\(f'(x)<0\)，函数单调减少；当 \(-1<x<1\) 时，\(f'(x)>0\)，函数单调增加；当 \(x>1\) 时，\(f'(x)<0\)，函数单调减少。

\(f(-1)=0\) 是极小值， \(f(1)=2\) 是极大值。

（4）二阶导数。\[f^{\prime\prime}(x)=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\]令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到三个点 \(x=\pm\sqrt3,0\)。

当 \(x<-\sqrt3\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)， 函数是凹的；当 \(-\sqrt3<x<0\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)， 函数是凹的；当 \(x>\sqrt3\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)<0\)， 函数是凹的。

拐点为 \((-\sqrt{3}, f(\sqrt3)), (0,f(0)) \)，以及 \((\sqrt3, f(\sqrt3))\)。求出这几个点处的函数值，我们得到三个拐点：\((-\sqrt{3}, \frac{4-2\sqrt3}{4}), (0,1), (\sqrt{3}, \frac{4+2\sqrt3}{4})\)

（5）函数与 \(y\) 轴的交点为 \((0,1)\)，与\(x\) 轴的交点为 \((-1,0)\)，这两点一个是拐点，一个是极值点。

（6）画图。根据我们上面所得到的信息，我们可以画出函数的图形了。