在这里，我们利用 \(\epsilon-\delta\) 语言严格的定义了什么是一个函数的极限。运用此定义，可以证明一系列关于极限的定理。此外，可以证明一个函数在给定点的极限的值。

笔记下载：极限的严格定义 formal definition of a limit

我们先来叙述一下函数的极限的严格定义。

1，极限的严格定义：\(\lim_{x\to a}f(x)=A\) 是指：对任何的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得对任何的满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。

2，如何理解极限的严格定义：

我们回顾一下极限的直观定义：当 \(x\) 越来越接近于 \(a\)时， \(f(x)\) 无限接近于 \(A\)。那么问题是，什么是“越来越接近”，什么是“无限接近”？这些语言在数学上是不严格的，或者是逻辑不清晰的。我们需要给它一个逻辑严密、意义确定无误的定义。

首先我们严格定义什么是“无限接近”，无限接近，应该就是它们的距离可以“无限”的小；“无限”小，那么就是不管你给出多么小的数字，都可以比你给出的这个数字小。也就是说，对任意给出的一个很小的数字，我们都可以做到比这个数字更小。又因为距离只可能为正数，所以叙述出来就是：对任意给定的大于 \(0\) 的正数 \(\epsilon\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。紧凑的说法就是：对任意 \(\epsilon>0\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。

其次来严格定义 “越来越接近”，直观上的理解就是就是当 \(x\) 充分接近于 \(a\) 时。那么“充分接近”就是接近到一定程度就行，而接近于“一定”程度，就是只要它们之间的距离小于某一个数，这个数我们记为 \(\delta\)，这个数要存在，若不存在，就意味着没有 \(x\) 能满足“越来越接近”这个条件。所以严格叙述起来就是：存在一个正数 \(\delta\)，当 \(|x-a|<\delta\) 时。因为极限是越来越接近，它可以不等于 \(a\)，所以 \(|x-a|>0\)。全部加在一起，就是这样说：存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\)时，……

我们把这两部分联合一起，就是：对任何大于 \(0\) 的 \(\epsilon\)，存在一个大于 \(0\) 的数 \(\delta\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时，不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。 我们就称 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\)。

3，用定义证明极限。关于极限的严格定义，还有一个难点就是用定义证明极限。在极限的定义里，\(\epsilon\) 是任意的数，给定的，所以不需要我们做什么。极限的定义里，极限的存在性实际上等于 \(\delta\) 的存在性，也就是说，我们只要证明或者找到了满足这样条件的 \(\delta\)，那么极限就存在了。

要找 \(\delta\)，基本的方法就是从不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 出发，将它变形，成为另一个不等式 \(|x-a|<B\)，那么这个 \(B\) 就是我们要找的 \(\delta\)。要记得，变形后得到的不等式，左边一定是 \(|x-a|\)，否则就不是我们想要的。

我们来看两个如何用定义证明极限或者求极限的例题。

例1：证明 \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)。

分析：我们要证明这个极限，就是从不等式 \(\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon\) 出发，把它变形成为一个关于 \(|x-1|\) 的不等式，那么就找到了 \(\delta\)。我们来看解答过程。

解：对任何的 \(\epsilon>0\)，我们对不等式 \(\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon\) 变形，

\begin{align*}\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon & \Longrightarrow\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2\right|<\epsilon \\& \Longrightarrow |(x+1)-2|<\epsilon\\& \Longrightarrow |x-1|<\epsilon\end{align*}

我们已经得到了关于 \(|x-1|\) 的不等式 \(|x-1|<\epsilon\)，所以只要取 \(\delta=\epsilon\)，就行。也就是说，只要 \(0<|x-1|<\delta\)，则 \(|\frac{x^2-1}{x-1}-2|<\epsilon\) 成立。

例2：证明 \(\lim_{x\to 8}\sqrt{x+1}=3\)。

解：这个可能稍微麻烦些。对任何 \(\epsilon>0\)，我们对不等式 \(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\) 变形，

\begin{align*}|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon&\Longrightarrow \left|\frac{(\sqrt{x+1}-3)((\sqrt{x+1}+3)}{(\sqrt{x+1}+3}\right|<\epsilon\\ &\Longrightarrow \left|\frac{x-8}{(\sqrt{x+1}+3}\right|<\epsilon\\&\Longrightarrow |x-8|<|(\sqrt{x+1}+3|\epsilon\end{align*}

现在我们看到，虽然左边已经是 \(|x-8|\)，但是不等式右边有 \(x\)，这个需要处理一下。因为 \(x\to 8\)，也就是说 \(x\) 很接近 \(8\)，我们不妨设 \(7<x<9\)，那么 \(\sqrt{8}+3<|\sqrt{x+1}+3|<\sqrt{10}+3\)，所以只要 \(|x-8|<(\sqrt{8}+3)\epsilon\)，自然 \(|x-8|<(\sqrt{x+1}+3)\epsilon\)，从而 \(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\)。

所以只要取 \(\delta=(\sqrt{8}+3)\epsilon\)，则当 \(|x-8|<\delta\) 时，\(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\) 成立。所以 \(\lim_{x\to 8}\sqrt{x+1}=3\)。