我们给出极限的直观定义。一并给出左、右极限以及极限为无穷大的定义。

笔记下载：极限的直观定义 intuitive definition of limits

1，极限（limit）：极限（limit）是微积分里第一个重要的概念，我们先给出它的直观的定义：

定义1：当 \(x\) 越来越接近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的值越来越接近于 \(A\) ，我们称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限(limit)，记为 \[\lim_{x\to a }f(x)=A\]或者\[f(x)\to A (x\to a)\]

另外一个稍微严格一点的定义为：

定义1’：若 \(x\) 充分接近 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的值可以任意接近于 \(A\)，则称\(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限，记为 \[\lim_{x\to a }f(x)=A\]或者\[f(x)\to A (x\to a)\]

我们用一个例子来说明极限的直观定义。

考察函数 \(f(x)=x^2-x+2\)，这是一个二次函数，我们通过配方法得到它的标准形式：

\[x^2-x+2=(x^2-x)+2=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}\]所以它的顶点在 \((\frac{1}{2}, \frac{7}{4})\)，由此我们可以画出它的图形

从图形上看，当 \(x\) 越来越趋近于 \(2\) 时，\(y\) 越来越趋近于 \(4\)。所以函数当 \(x\) 趋近于 \(2\) 时的极限为 \(4\)。

我们现在用另一种方法来说明函数在 \(x\) 趋近于 \(2\) 的时候极限是 \(4\)。我们来看当 \(x\) 接近于 \(2\) 的时候函数的值的变化。

\[\begin{array}{l|l}x&f(x)=x^2-x+2\\ \hline\\ 1.8 & 3.44\\ 1.9&3.71\\ 1.95&3.8525\\ 1.99& 3.9701\\ 1.995&3.985025\\ 1.999& 3.997001 \to 4\\ 2.001&4.003001 \to 4\\ 2.005&4.015025\\ 2.01&4.0301\end{array}\]

从这个表我们可以看出，当 \(x\) 越来越接近于 \(2\) 的时候，函数值越来越接近于 \(4\)，所以我们说函数在当 \(x\) 趋近于 \(2\) 的时候的极限为 \(4\)。

我们一般接触到 的函数，或者在高中学过的函数，它在某一点处的函数，一般是这个函数在这一点处的函数值。如果函数在这点没有定义，那么我们就要用另外的方法来求这一点处的极限。

例1：\[lim_{x\to 2}x^2=4\qquad \lim_{x\to \frac{]pi}{2}}\sin x=1\]

\[\lim_{x\to 0}e^x=1\qquad \lim_{x\to 1}\ln x=0\]

如果函数在某一点处没有定义，我们需要用另外的方法来求这一点处的极限。

例2，求 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2+x-2}\)。

解：我们对分子分母进行因式分解，

\[\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2+x-2}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x+2}=\frac{2}{3}\]

这里我们要注意的一点是：在极限的定义中，我们并不要求函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 点有定义，我们只需要它在这一点的附近有定义即可。也就是说，极限只管这一点附近的情况，对于这一点本身，我们不关心。所以在这个题里面，虽然函数在 \(x=1\) 的时候没有定义，但是它在这一点的极限是存在的。

另一个我们需要注意的是，极限是一个过程，它是动态的，从定义来看，它是“越来越”，而不是固定在某一点，所以它是一个动态的过程。

2，左右极限（单侧极限，one-sided limit）：我们把极限的定义稍微修改一下，就得到是单侧极限的定义。

左极限（left limit）：当 \(x\) 从 \(a\) 的左边越来越接近于 \(a\) 时， 函数 \(f(x)\) 越来越接近于 \(A\)，我们就说\(A\) 为函数\(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 左边时的极限，记为 \[\lim_{x\to a^-}f(x)=A\]

同理，我们可以定义函数在 \(a\) 处的右极限。右极限记为 \[\lim_{x\to a^+}f(x)=A\]

左右两侧的极限可以不相等。这个时候，函数的图形看起来就是断开的。对于单侧极限，我们有这样的定理：

定理：函数在一点处的极限存在的充分必要条件是它在这一点处的左、右极限存在且相等。即\[\lim_{x\to a}f(x)=A \Leftrightarrow \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=A\]

我们来看两个例子。

例3，设 \(f(x)=\frac{|x|}{x}\)，求 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的左、右极限。

解：我们有

\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1\]

\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{x}=1\]

所以函数的左、右极限不相等，从而 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\) 不存在。

例4，设函数 \(f(x)\) 定义为

\[f(x)=\begin{cases}x^2-3x+2,&x<0\\ 3x-1,& x\geq 0\end{cases}\]求 \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x), \lim_{x\to 0^+}f(x), \lim_{x\to 0}f(x)\)。

解：\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2-3x+2)=2,\qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(3x-1)=-1\]

因为 \(\lim_{x\to 0^-}f(x)\ne \lim_{x\to 0^+}f(x)\)，所以 \(\lim_{x\to 0}f(x)\) 不存在。

3，无穷大（infinite limit）：我们有时候说一个极限是无穷大，是指函数在某个极限过程中，可以大于任何给定的数。记为 \[\lim_{x\to a}f(x)=\infty\]

负无穷大：函数在某个极限过程中，可以小于任何给定的数。记为 \[\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\]

例如 \[\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\]

注：如果 \[f(x)\to 0^+, (x\to a)\Longrightarrow\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\infty,\]反之如果 \[f(x)\to 0^-, (x\to a)\Longrightarrow\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=-\infty\]

反过来，如果 \(f(x)\to \pm \infty, (x\to a)\)，则 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=0\)