极限的计算，最基本的方法就是运用极限的运算法则。另外，如果极限 的运算法则的条件不满足，也有一些初等的方法来计算某些极限。这些初等方法包括公因式方法、有理化方法以及通分等。

笔记下载：极限的运算法则与初等方法 limit laws and elementary methods

有了极限的定义，我们可以得到一些最简单的函数的极限，要计算一些稍微复杂一点的极限 ，我们就要使用极限的运算法则，也就是 limit laws。我们将它们列在这里，它们的证明可以等到极限的严格定义给出来之后。

极限的运算法则（limit laws）：假设 \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\)，\(A,B\) 都是有限数（不是无穷大）。

（1）\(\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x)=A\pm B\)；

（2）\(\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)=A\cdot B\)；

（3）\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{ \lim_{x\to a}g(x)}=\frac{A}{B},\quad B\ne 0\)；

（4）\(\displaystyle \lim_{x\to a}[Cf(x)]=C\lim_{x\to a}f(x)=C\cdot A\)；

（5）\(\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x))^n=(\lim_{x\to a}f(x))^n=A^n\)；

（6）\(\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)^{g(x)}]=[\lim_{x\to a}f(x)]^{ \lim_{x\to a}g(x)}=A^B\)

我们先看一下用极限法则求极限的例子。

例1，

\[(1) \lim_{x\to 1}(x^3-3x+5)=\lim_{x\to 1}x^3-\lim_{x\to 1}3x+\lim_{x\to 1}5=\lim_{x\to 1}x^3-3\lim_{x\to 1}x+\lim_{x\to 1}5=1-3+5=3\]

\[(2) \lim_{x\to 2}\frac{5x^3+4}{x-3}=\frac{\lim_{x\to 2}5x^3+4}{\lim_{x\to 2}x-3}=\frac{44}{-1}=-44\]

\[(3) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(x^2\sin x)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}x^2\cdot \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x=\frac{\pi^2}{4}\cdot 1=\frac{\pi^2}{4}\]

对于一些不能使用极限运算法则的函数，我们需要用其它的方法来求极限。不能使用极限运算法则的极限，我们称之为未定式极限 （undertermine limit）。求未定式极限的最广泛使用的方法是洛必达法则（l’Hospital principle），那是运用导数的方法来求极限，这里我们先不涉及。我们先看一些可以用初等的方法来求未定式极限。这些方法包括约去无穷小因子，有理化，通分等等方法。

例2 \[\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+3)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x+3}=\frac{3}{4}\]

对于分子分母都趋于 \(0\)，且都是多项式的情形（有理函数，\(\frac{0}{0}\)），我们可以通过因式分解，约去因子 \(x-a\)，从而可以应用极限法则来求极限。

例3 \[\lim_{x\to 1}\frac{x^3+x^2-5x+3}{x^3-3x+2}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+2x+3)}{(x-1)(x^2+x+2)}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+2}=\frac{3}{2}\]

对于有根式的极限，我们可以运用有理化的方式，将极限简化。

例4，\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}\end{align*}

对于两个相减的无穷大，通常可以进行通分来简化极限。

例5 \[\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2+2x}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{x+2-2}{x^2+2x}=\frac{x}{x(x+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2}\]