线性变换可以认为是函数的定义的推广。如果一个映射的定义域与值域都是向量空间，那么这样的映射称为一个变换。如果一个变换对加法与数乘都是封闭的话，这样的变换就称为一个线性变换。

笔记下载：线性变换 linear transformation

所谓对加法运算封闭， 就是如果一个变换 \(T\)，满足，对任何两个向量\(\vec{u}, \vec{v}\)

\[T( \vec{u}+\vec{v} )= T( \vec{u})+T(\vec{v} ) ;\]

所谓对数乘封闭就是，对任何向量 \( \vec{u} \) 和任何实数 \(\lambda\in \mathbb{R}\)，有

\[T(\lambda \vec{u})=\lambda T(\vec{u}).\]

所以说，一个变换 \(T\)，如果同时满足两个条件

• \( T( \vec{u}+\vec{v} )= T( \vec{u})+T(\vec{v} ) \)
• \( T(\lambda \vec{u})=\lambda T(\vec{u}) \)

那么这个变换就是一个线性变换。

另外，从线性变换的定义，我们可以得到它的等价定义：\(T\) 是一个线性变换如果它满足：\[T(a\vec{u}+b\vec{v})=aT(\vec{u})+bT(\vec{v})\]这里 \(a,b\) 都是实数，而 \( \vec{u}, \vec{v} \)是两个向量。