Column space 和 Null space，听起来很难的样子，其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换（Row reduction），把矩阵变成行阶梯形（Row reduced form）后，Column space 的 basis 就很容易得到了，而求零空间，其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间（Vector space）完全可以由其基表示，所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步：将矩阵化成行阶梯形（REF）
第二步：找出每一个非零行，第一个非零元（pivot number）所在的列，对应的原矩阵里的列，就是列空间的基（ Column space 的 basis）。

我们来看一个例子：设\(A\) 为如下的矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&-3&-7\\
-1&2&7&3&4\\
-2&2&9&5&5\\
3&6&9&-5&-2
\end{pmatrix}\]

通过初等行变换，它可以变成

\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\]

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行，它们的首个非零元在第一、二、四列，所以，列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列，也就是说，\(Col A\) 的基由下列三个向量组成：

\[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}
\]

或者说 \[{\rm Col} A= {\rm span}\left(\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}\right)\]

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义，\(Null A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\)，所以，找零空间就是解方程组 \(A\vec{x}=0\}\) 。我们仍然以上面的 \(A\) 为例。我们先将它化成行最简形（RREF）
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-2&0&-3\\
0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

它的解是
\[\vec{x}=
C_1\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+C_2
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}
\]

所以零空间是
\[
Null A={\rm span}\left(\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}\right)
\]