在微积分（Calculus） 这一门课里，极限（limits）是一个最基本的概念，但是它的技巧也特别多, 所以极限的求法相对比较难，发展出多种多样的求极限方法. 有很多方法只是针对特定类型的极限有效. 现在我们看看微积分里都有哪些求极限的方法, 以及哪些类型的极限应用什么方法比较有效.

我们先来说一说求极限时的一般原则.

求极限的一般原则:

1. 首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限；
2. 两种基本的未定式极限是 \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型和 \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) , 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲；
3. 其它未定式极限(\(\displaystyle0\cdot\infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0 \)),要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。

各种类型的极限求法:

1. 对未定式极限，\(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)，最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候，先分子分母分别求导，再求极限。例如
   \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}\]
2. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to a\) ，且分子分母都是多项式，则分子分母可以约去无穷小因子 \(x-a\)。例如 \[\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}=\lim_{x\to3}\frac{(x-2)}{(x-5)}=-\frac{1}{2}.\]
3. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to a\) ，且分子或者分母有根式， 则先对根式有理化，然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。例如
   \[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\]
   我们在分子分线都乘以 \(\sqrt{1+2x}+3\) ，则分子就有理化了，再在分子分母同乘以因式 \(\sqrt{x}+2\)，则分母就有理化了，从而原极限变成
   \[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\lim_{x\to 4}\frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{4}{3}\]
4. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to 0\) ，分子或分母有三角函数，则利用三角函数恒等式或其它变换，化成基本极限式 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) 相关的类型，利用这个极限来求。例如
   \[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x/\cos x – \sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}\]
   而 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\)，所以上述极限为
   \[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\frac{(2\frac{x}{2})^2}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}\]
5. \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) 型，\(x\to\infty\) （或者 \(n\to\infty\)），且分子分母都是 \(x\) （或者 \(n\)）的多项式或者类似于多项式（根式里是多项式）时，分子分母同除以 \(x\) 的最高阶幂。例如
   \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2},\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x-1}{x^3-7x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{7}{x^2}}=0\]
6. \(\infty-\infty\) 型，如二者都是分式，则先通分，化成两种基本形式，再用洛必达法则或者其它方法求极限。例如
   \[\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x\tan x}\]
   再利用公式 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。此极限为 \(0\) 。
7. \(\infty-\infty\) 型，如果其中一个含有根式，则先有理化，再用其它方法求极限。例如
   \[\lim_{x\to\infty}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{((x+a)(x+b)-x^2)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} = \frac{a+b}{2}\]
   最后一步是由分子分母同除以 \(x\) 得到。
8. \(\displaystyle1^{\infty}\) 型， 首先尝试能不能化成 \((1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}\) 的复合式，然后利用已知极限 \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\)，这里 \(\alpha\) 是一个无穷小量。例如
   \[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{x-a+a}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}\right)^{2a}\cdot\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{-a}=e^{2a}\]
9. \(\displaystyle 1^{\infty}\) 型，\(0^0\) 型， \(\infty^0\) 型，先取对数， 再取 \(e\) 底，化成基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\)，然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如
   \[\lim_{x\to0}(x+e^x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=e^{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=2\]
   最后一步是对指数部分应用洛必达法则。
10. \(0\cdot\infty\) 型，将其中一个乘式变成分母，从而化成两种基本形式的未定式；再利用其它方法求积分。例如
    \[\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1\]
11. 如果可以通过一个明显的放缩，且放缩后两者的极限都相等的话，就使用夹挤原理来求极限。例如
    \[\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\]
    显然有
    \[n\frac{n}{n^2+n\pi}\leq n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\leq n\frac{n}{n^2+\pi}\]
    不等号的左边和右边都有相同极限 \(1\)（只需要在分子分母除以 \(n^2\) 即可），所以由夹挤原理，原极限为 \(1\) 。
12. 分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限，然后确定二者是否相等；
13. 幂指函数 \(\displaystyle(f(x))^{g(x)}\)的极限，如果是未定式极限， 一定要先化成 \(\displaystyle e^{g(x)\ln(f(x))}\)形式，然后运用复合函数的极限法则，将极限符号移到指数上去，对指数部分用未定义极限的求法求极限。也就是说
    \[\lim_{x\to a}(f(x))^{g(x)}=e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))}\]