所谓的对数求导法，就是先对函数 $y=f(x)$ 取对数 $\ln y=lnf(x)$，然后应用函数求导法则，两边对 $x$ 求导
$$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)},$$
从而求出 $y^{\prime }$ 的方法。

这种方法主要应用于下列两种情况：

1，函数是幂指函数 $y=h(x{)}^{g(x)}$ 的情形。例如
$$y=\sin x^{\ln x}$$

两边取对数，我们得到
$$\ln y=\ln (\sin x^{\ln x})。$$

根据对数的运算法则，上式等于
$$\ln y=\ln x\ln (\sin x).$$

两边对 $x$ 求导，将 $y$ 看成是 $x$ 的函数，我们得到
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}{y}^{\prime }& =\frac{1}{x}\ln (\sin x)+\ln x\frac{\cos x}{\sin x}\\ & =\frac{\ln (\sin x)}{x}+\ln x\tan x\end{array}.$$

所以
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =y(\frac{\ln (\sin x)}{x}+\ln x\tan x)\\ & =\sin x^{\ln x}(\frac{\ln (\sin x)}{x}+\ln x\tan x)\end{array}$$

2，函数混合了多重乘、除法及根式，例如
$$y=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}.$$
这样的函数，不管是用乘法规则（product rule）还是除法规则（quotient rule），都是非常头疼的事。但是用对数求导法则，就简单多了。因为对数函数有几个非常好用的运算法则，就是乘法变成加法，除法变成减法，指数可以提到对数符号前面来。

我们对上面的函数两边取对数，得到
$$\ln y=\ln \left(\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}\right)$$
因为根式可以写成指数的形式，例如 $\sqrt[3]{7x^2+1}=(7x^2+1{)}^{\frac{1}{3}}$，所以根据对数的运算法则，上式变成
$$\ln y=\frac{1}{3}\ln (7x^2+1)+\frac{1}{5}\ln (2x-3)-\frac{1}{2}\ln (x^2+5)-\frac{1}{4}\ln (3x-2)$$

两边关于 $x$ 求导，我们得到
$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2}$$
两边同乘以 $y$，然后将 $y$ 的表达式代入，就得到了
$$y^{\prime }=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}(\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2})$$