一般来说，向量场的曲线积分

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\]的计算方法主要有三种：直接计算，格林公式（Green’s Theorem）和Stokes 公式（Stokes’ Theorem）。每种方法，针对不同的情形，有不同的处理方法。我们针对这些情形分别进行讲解。

1，直接计算法：我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式，将曲线积分化成定积分来计算。

• 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\) （三维）或者 \( \vec{r}(t)=\{x(t),y(t)\} \)（二维）给出，\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)，其中 \(t=\alpha\) 对应起点， \(t=\beta\) 对应终点，那么积分
  \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\alpha}^{\beta}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt,\]其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是，这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小，起点就是在下限，终点在上限，这一点跟对弧长的曲线积分不同。 例如 \(\vec{F}=\{z,y,-x\}=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}\)， \(L\) 由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{t,\sin t, \cos t\}\)， \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\),那么积分\[\begin{align}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, -t)\cdot(1,\cos t,-\sin t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(\cos t+\sin t\cos t+t\sin t)dt\end{align}.\]剩下的部分就是计算定积分了。
• 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\)， \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)，那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot(1,f'(x))dx,\]

2，若 \(L\) 是平面曲线，则可以用格林公式（Green’s Theorem）来计算。

• 若 \(L\) 是平面闭曲线，且在曲线内部 \(\vec{F}\) 有一阶连续偏导数（就是每个分量都有一阶连续偏导数），这种情况可以直接应用格林公式；
• 若 \(L\) 是平面闭曲线，但是在曲线内部 \(\vec{F}\) 有奇点（一阶偏导数不存在或者不连续），这种情况我们通过添加辅助线，将奇点挖掉，然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去，就得到了原来的曲线积分的值；
• 若 \(L\) 是平面开曲线，我们可以通过添加简单的辅助线（为了方便计算），使新的曲线成为一个简单闭曲线，然后应用格林公式，最后减去辅助线上的积分，就得到原曲线积分的值。

这一部分讲解起来内容比较多，可以看我们的视频教程：如何应用格林公式(Green’s Theorem) 求曲线积分

3，若 \(L\) 是一个空间闭曲线，则可应用Stokes 公式，将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上，可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。（因为以 \(L\) 为边界的曲面很多，我们可以选择最简单的曲面。）理论上来说，空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式，但一般来说，这样的计算相对繁琐，我们一般不考虑。这部分的内容可以观看视频：Stokes 定理

这三种方法是最常用的方法，当然还有一些其它的方法，例如积分与路径无关，全微分求积等等，但这些方法基本上是从三大定理推导出来的。除了直接计算的方法以外，我们只需要掌握三大定理的应用，曲线积分和曲面积分的部分就算是掌握了。