我们这里推导点到平面的距离以及点到直线的距离。已知点的坐标以及平面上一点或者直线上一点，以及平面的法向量或者直线的方向向量，可以得到点到平面或者直线的距离。

笔记下载：点到直线及点到平面的距离 distance from a point to a line or plane

1，我们推导直线外一点 \(P(x,y,z)\) 到直线 \(l\) 的距离。假设直线 \(l\) 过点 \(Q(x_0,y_0,z_0)\)，并且它的方向向量是 \(\vec{s}=(a,b,c)\)，我们从 \(P\) 点到直线 \(l\) 作垂线，垂足为 \(R\),

我们知道向量 \(\vec{PR}\) 的长度就是点到直线的距离，但是我们不知道 \(R\) 的具体位置，所以没办法直接计算它的长度。但我们知道 \(Q\) 是直线上的一点，我们从\(Q\) 点到 \(P\) 点作一向量\(\vec{QP}\)，那么从图形上看， \(|\vec{PR}|=|\vec{QP}|\sin\theta\)

在向量的运算里面，含有 \(\sin \theta\) 的运算是叉积，\(|\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)。因为这里的 \(\theta\) 是向量 \(\vec{QP}\) 与直线的方向向量 \(\vec{s}\) 的夹角，所以\[\sin \theta=\frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{QP}||\vec{s}|}\]

从而，我们可以得到点到直线的距离公式：\[|\vec{PR}|=|\vec{QP}|\cdot \frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{QP}||\vec{s}|}=\frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}\]

2，现在我们推导平面外一点\(P(x,y,z)\) 到平面的距离。设平面 \(\Sigma\) 过一点 \(Q(x_0,y_0,z_0)\) 且有法向量 \(\vec{n}=(A,B,C)\)。我们从 \(P\) 点到平面 \(\Sigma\) 作垂线，垂足为 \(R\)，

那么 \(P\) 到平面的距离就是 \(RP\) 的长度。跟之前一样，我们不知道 \(R\) 的具体位置或者坐标，所我们不能直接计算这个长度。但是我们知道平面上一点 \(Q\)，我们作向量 \(\vec{QP}\)，

因为 \(\vec{PR}\) 垂直于平面，所以这个向量与平面的法向量平行，或者它就在法向量上。我们从图形上可以看出， \(\vec{RP}\) 的长度正好就是 \(\vec{QP}\) 在法向量上投影的长度。所以我们有 \[|\vec{RP}|=\frac{|\vec{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]

在坐标系下，设 \(Q=(x_0,y_0,z_0)\)，则 \(QP=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\)，

\begin{align*}\vec{QP}\cdot\vec{n}&=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot(A,B,C)\\ &=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)\\ &=Ax+By+Cz-(Ax_0+By_0+Cz_0)\\ &=Ax+By+Cz-D\end{align*}

最后一个等式是因为平面的方程为 \(Ax+By+Cz=D\)，而 \((x_0,y_0,z_0)\) 在平面上，所以 \(Ax_0+By_0+Cz_0=D\)。

所以，在坐标系下，点 \((x,y,z)\) 到平面 \(Ax+By+Cz=D\) 的距离为

\[d=\frac{|Ax+By+Cz-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

例2，求点 \(P=(1,1,3)\) 到平面 \(3x+2y+6z=6\) 的距离。

解：由点到平面的距离公式，

\[d=\frac{|3\codt 1+2\cdot 1+6\cdot 3-6|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}=\frac{17}{7}\]