我们给出了偏导数的定义及计算方法。偏导数就是固定其它变量，只让一个变量变化时的导数。求偏导数相对简单，将所有其它的变量都当成常数，只对其中一个变量求导数，运用一元函数的求导法则即可。

笔记下载：偏导数与高阶偏导数 partial derivative

1，偏导数：我们首先处理二元函数的情形。做法是取这一点的两个特殊方向，或者过这一点的两条特殊的曲线，用一元函数的方法来处理，然后其它的方向上的问题可以由这两个方向来处理。

考虑函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处的变化率。我们先固定 $y=b$，只考虑 $x$ 方向上的变化率。因为 $y$ 固定，所以 $z=f(x,b)$ 是关于 $x$ 的一元函数，所以它对 $x$ 有导数，它的图形在这一点有切线，它的斜率就是关于 $x$ 在这一点的导数。我们把它叫做函数 $z=f(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导数，它的定义为

偏导数：函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$处关于 $x$ 的偏导数定义为$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(a,b)}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$或者$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(a,b)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}$$

同理，我们可以定义函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$处关于 $y$ 的偏导数$$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(a,b)}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}=\underset{y\to b}{lim}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}$$

对于函数 $z=f(x,y)$ 在其定义域内任意一点，我们定义它的偏导数为

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$$

对于三元函数甚至更多元的函数，我们可以类似定义。每次只允许一个变量变化，其它变量都固定。

2，偏导数的求法：从偏导数的定义我们可以看到，在一点的偏导数，只有一个变量是变化的，其它变量都固定。所以在求偏导数的时候，把其它变量都当成常数，用一元函数的求导法则来求即可。

例1：设 $f(x,y)=x^y$，求它的两个偏导数。

解：求关于 $x$ 的偏导数的时候，将 $y$ 看成常数，所以它是一个幂函数，也就是$$\frac{\partial f}{\partial x}=y{x}^{y-1}$$

对 $y$ 求偏导数的时候，$x$ 是常数，所以函数是一个指数函数。$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^y\ln x$$

例2：$f(x,y,z)=\ln (x+2y+3z)$，求它的三个偏导数。

解：我们有

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+2y+3z},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{x+2y+3z},\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{3}{x+2y+3z}$$

例3：$z=1-x+y-3x^{2}y$，求它在点 $(1,2)$处的偏导数。

解：我们有 $$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=-1-6xy{|}_{(1,2)}=-13,\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}=1-3x^2{|}_{(1,2)}=-2$$

最后我们来看一个需要用定义来求偏导数的例子。

例4：设$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x^4+y^4)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$求它在点 $(0,0)$ 处的偏导数。

解：这是一个分段函数，它的偏导数存在不存在我们不知道，所以我们用定义来求。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^4}{x^2}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^4}{x^4}\cdot x^2=0\end{array}$$

因为对称性，我们知道 $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=0$

3，高阶偏导数：我们知道，对于函数 $z=f(x,y)$ 来说，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 还是 $(x,y)$ 的二元函数，所以它们本身也可以求偏导数。偏导数再求导就是函数的二阶偏导数。对于阶偏导数再求导就是三阶偏导数，依此类推。

对于二元函数来说，一阶偏导数有两个，它们又都是二元函数。所以，一般来说，二元函数的二阶偏导数有四个：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xx}=f_{11}$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=f_{12}$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yx}=f_{21}$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yy}=f_{22}$$

最后两个等式，是二阶偏导数的其它两种常见的记号。这里需要注意的是，写成下标形式，左边的下标是先求导，右边的下标是后求导。而写成分式形式的二阶偏导数，分母左边的是后求导，右边是先求导。

两个二阶偏导数 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 称为混合二阶偏导数。

二阶偏导数或者高阶偏导数没有什么特别的求法，就是先求出一阶偏导数，再对一阶偏导数求偏导就行了。我们只看一个例子。

例5：设 $f(x,y)=x\cos y+y{e}^x$，求它所有的二阶偏导数。

解：我们先求出一阶偏导数。

$$\frac{partialf}{\partial x}=\cos y+y{e}^x,\frac{partialf}{\partial y}=-x\sin y+e^x$$

再来求二阶偏导数

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=y{e}^x,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=-\sin y+e^x$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=-\sin y+e^x,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-x\cos y$$

上面这个例子，我们看到了两个混合偏导数是一样的。这不是偶然出现的情况，实际上，我们有下述的定理：

定理：若 $f_x,f_y,f_{xy},f_{yx}$ 在某区域上连续，那么在该区域上 $f_{xy}=f_{yx}$。

这个定理我们这里就不证明了。

例如， $f(x,y)=xy+\frac{e^y}{1+y^2}$ 在整个平面上连续，可导，偏导数都连续，二阶偏导数也连续，所以二阶混合偏导数是相等的。