给出了方向导数的定义与求法，并由此给出多元函数的梯度的定义。方向导数就是一个函数在某个方向上的变化率，而梯度方向是函数增长最快的方向。

笔记下载：方向导数与梯度 directional derivatives and gradient

1，方向导数：设 \(\vec{u}=(a,b)=a\vec{i}+b\vec{j}, |\vec{u}|=1\)，我们定义函数 \(f(x,y)\) 在点 \(x_0,y_0)\) 处沿方向 \(\vec{u}\) 的方向导数为

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\vec{x}_0+h\vec{u})-f(\vec{x}_0)}{h},\quad \vec{x_0}=(x_0,y_0)\]

2，计算： 对于方向导数的计算，我们有如下的定理。

定理：设 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，则

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot a+ f_y(x_0,y_0)\cdot b\]

证明：由方向导数的定义，

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}\]

令 \(g(h)=f(x_0+ah,y_0+bh)\)，则 \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}=g'(0)\)。

如果令 \(x=x_0+ah, y=y_0+bh\)，则

\begin{align*}g'(h)&=\frac{dg}{dh}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dh}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dh}\\ &=f_x(x_0+ah,y_0+bh)\cdot a+f_y(x_0+ah,y_0+bh)\cdot b\end{align*} 所以 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=g'(0)=f_x(x_0,y_0)\cdot a+ f_y(x_0,y_0)\cdot b\]

注1：如果是三元函数 \(f(x,y,z)\) 在方向 \(\vec{u}=(a,b,c)\) 上的方向导数为 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b+f_z\cdot c\]

注2：我们要注意，方向导数定义里的 \(\vec{u}\) 是一个单位向量，如果不是单位向量，需要先换成单位向量，再来计算。

例1：求函数 \(f(x,y)=x^2y^3-4y\) 在点 \((2,-1)\) 处沿方向 \(\vec{v}=2\vec{i}+5\vec{j}\) 的方向导数。

解：因为 \(\vec{v}\) 不是单位向量，我们先把它单位化，

\[\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{4+25}}(2,5)=(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}})\]

\[f_x(x,y)=2xy^3,f_y(x,y)=3x^2y^2-4, f_x(2,-1)=-4, f_y(2,-1)=8,\] 所以

\[D_{\vec{u}}f=f_x(2,-1)\cdot a+f_y(2,-1)\cdot b=-4\cdot \frac{2}{\sqrt{29}}+8\cdot \frac{5}{\sqrt{29}}=\frac{32}{\sqrt{29}}\]

3，梯度：从方向导数的计算式里，如果我们使用向量的运算，我们发现 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b=(f_x,f_y)\cdot (a,b)\]

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b+f_z\cdot c=(f_x,f_y,f_z)\cdot (a,b,c)\]

我们记 \(\nabla f=(f_x,f_y)\) 或者 \(\nabla f= (f_x,f_y,f_z)\)，称这函数的梯度。更多元的函数类似定义。梯度有时候也写成 \(\text{grad}f=\nabla=(f_x,f_y)\) 或者 \(\text{grad}f=\nabla=(f_x,f_y,f_z)\)。

有了梯度的定义以后，方向导数的计算可以写成 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla f\cdot\vec{u}\]

4，由方向导数的计算式， 我们还有

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla f\cdot\vec{u}=|\nabla f||\vec{u}|\cos \theta=|\nabla f|\cos \theta\]从而我们得一结论：\(\vec{u}\) 是梯度方向时，函数增长最快， \(\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=|\nabla f|\)；与梯度方向相反时，减少最快, \(\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=-|\nabla f|\)。

例2：设 \(f(x,y,z)=x\sin(yz)\)，求 \(f(x,y,z)\) 在点 \(1,3,0\) 处沿方向 \(\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}\) 上的方向导数。

解：因为 \(\vec{v}\) 不是单位向量，我们要将它单位化。因为 \(|\vec{v}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\)

\[\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=(\frac{1}{\sqrt6},\frac{2}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6})\]

\[\nabla f=(\sin(yz), xz\cos(yz),xy\cos(yz)),\quad \nabla f(1,3,0)=(0,0,3)\]

所以 \[\frac{\partial f}{\vec{u}}(1,3,0)=\nabla f(1,3,0)\cdot (\frac{1}{\sqrt6},\frac{2}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6})=-\frac{3}{\sqrt6}\]

例3：\(f(x,y)=xe^y\)，（1）求函数在点 \(P(2,0)\) 处沿方向 \(P\) 到 \(Q(\frac{1}{2})\) 的变化率；（2）\(f(x,y)\) 在 \(P\) 点哪个方向增长最快？增长率是多少？

解：（1）因为 \(\vec{PQ}=(-\frac{3}{2},2)\)，这个方向上的单位向量是 \[\vec{u}=\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\]

梯度为 \[\nabla f=(e^y,xe^y),\quad \nabla f(2,0)=(1,2)\]所以方向导数为

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla(2,0)\cdot(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})=1\]

（2）增长最快的方向是梯度方向 \[\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\frac{1}{\sqrt5}(1,2)=(\frac{1}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5})\]增长率为\(|\nabla f|=\sqrt5\)。