我们导出曲面的切平面与法线的求法。如果一个曲面是通过隐函数 \(F(x,y,z)=0\) 的方法给出，则它的法向量就是 \(F(x,y,z)\) 的梯度 \(\nabla F\)。从而通过平面的点法式方程和直线的点向式方程得到曲面的切平面方程的法线方程。

笔记下载：曲面的切平面与法线 tangent plane and normal line

1，切平面：曲面在一点处的切平面，定义为所以过该点的曲线的切线的集合。

法线：定义为曲面过这一点的切平面的法线。

2，切平面方程：我们假设曲面由隐函数方程给出，\(F(x,y,z)=0\)，任意一条过 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 点，位于曲面上的曲线具有参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\)，那么这条曲线满足方程 \[F(x(t),y(t),z(t))=0\]

对此方程两边对 \(t\) 求导， 我们有

\[\frac{dF}{dt}=F_x\cdot\frac{dx}{dt}+F_y\cdot\frac{dy}{dt}+F_x\cdot\frac{dz}{dt}=0\]

上式可以写成 \[(F_x,F_y,F_z)\cdot(x'(t), y'(t), z'(t))=0,\quad \Longrightarrow\quad \nabla F\cdot \vec{r}'(t)==\]，因为 \((x'(t), y'(t), z'(t))\) 是曲线的切线，这意味着 \(\nabla F\) 垂直于曲线的切线。因为曲线是任意的，所以 \(\nabla F\) 就是曲面的法向量。

由平面的点法式方程，我们就得到了曲面的切平面方程，

\[\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\]也就是

\[F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\]

法线方程为 \[\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\]

3，显函数情形：如果曲面由显函数 \(z=f(x,y)\) 给出，那么可以 \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\)，所以法向量为 \((f_x,f_y,-1)\)，所以切平面方程为 \[f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0\]

法线方程为 \[\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}\]

例1：求球面 \(x^2+y^2+z^2=14\) 在点 \((1,2,3\) 处的切平面与法线方程。

解：\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14=0\)，所以 \[\nabla F=(2x,2y,2z), \quad \nabla F(1,2,3)=(2,4,6)\]所以切平面的方程为

\[2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0\] 两边除以 \(2\)，可以简化成 \[(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0, \quad x+2y+3z=14\]

法线方程为 \[\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{3}\]

例2：求曲面 \(z=x^2+y^2-1\) 在点 \((2,1,4)\) 处的切平面与法线方程。

解： \(f_x=2x, f_y=2y\)，\(f_x(2,1)=4,f_y(2,1)=2\)，所以切平面方程为

\[4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,\quad\Longrightarrow\quad 4x+2y-z=6\]

法线方程为

\[\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{-1}\]