我们给出了在直角坐标下如何计算二重积分。 二重积分的计算，基本方法就是化二重积分为二次积分，就是将二重积分化成两次定积分。基本步骤包括怎么画出积分区域，确定积分的上下限以及确定积分的顺序等等。

笔记下载：直角坐标下二重积分的计算 double integrals in rectangular coordinates

1，化二重积分为二次积分：我们设曲顶柱体的底部区域为 \(D=\{(x,y)|a\le x\le b, \phi(x)\le y\le \psi(x)\}\)，固定 \(x\)，我们得到的是一系列的平行截面，这组平行截面的顶部为曲线 \(z=f(x, y)\)，底部为线段 \(\phi(x)\le y\le \psi(x)\)。每一个截面的面积为 \(A(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy\)，再根据平行截面为已知的立体的体积（平行截面为已知的立体的体积）的计算方法，我们知道，曲顶柱体的体积为

\[V=\int_{a}^bA(x)dx=\int_a^b\left(\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy\right)dx\]

这是两次定积分，我们称这样的积分为累次积分（这里是两次定积分，所以是二次积分）。我们通常省略里面的括号，直接写成

\[V=\int_a^b\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx\]

2，二重积分的计算。我们根据积分区域的不同，得到不同的积分方法（积分次序）。

（1）如果积分区域为 \(D=\{(x,y)|a\le x\le b, \phi(x)\le y\le \psi(x)\}\)，图形如下：

则积分为 \[\iint_Df(x,y)dA=\int_a^b\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx\]

（2）若积分区域为 \(D=\{(x,y)|h_1(y)\le x\le h_2{y}, c\le y\le d\}\)，也就是说，积分区域如图：

那么，二重积分为\[\iint_Df(x,y)dA=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dxdy\]

（3）若积分区域为两个区域之和（它们的内部不相交），\(D=D_1+D_2\)，

则

\[\iint_Df(x,y)dA=\iint_{D_1}f(x,y)dA+\iint_{D_2}f(x,y)dA\]

也就是说，如果在不同的地方，积分上下曲线不同，则需要对区域进行划分。

我们来看例题。

例1，求积分 \(\iint_Dx\sqrt{y}dA\)，其中 \(D\) 为两曲线 \(y=\sqrt{x}, y=x^2\) 所围成的部分。

解：我们先画出区域的图形

我们看到这样的区域可以先积分 \(y\)， 也可以先积分 \(x\)。

(I) 方法1， 先积分 \(y)。由方程组 \(y=\sqrt{x}, y=x^2\) 得到两个交点 \((0,0), (1,1)\)，所以区域的表达式为

\[D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq \sqrt{x}\}\]

因此二重积分为

\begin{align*}\iint_Dx\sqrt{y}dA&=\int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x\sqrt{y}dydx=\int_0^1\frac{2}{3}xy^{\frac{3}{2}}dx\\ &=\frac{2}{3}\int_0^1x(x^{\frac{3}{4}}-x^3)dx=\frac{2}{3}\int_0^1(x^{\frac{7}{4}}-x^4)dx\\ &=\frac{2}{3}(\frac{4}{11}x^{\frac{11}{4}}-\frac{1}{5}x^5)\Big|_0^1=\frac{6}{55}\end{align*}

(II) 先积分 \(x\)。那么，右边的曲线为 \(x=\sqrt{y}\)，左边的曲线为 \(x=y^2\)，所以积分区域为 \[\{(x,y)|y^2\leq x\leq \sqrt{y}, 0\leq y\leq 1\}\]

二重积分为

\begin{align*}\iint_Dx\sqrt{y}dA&=\int_0^1\int_{y^2}^{\sqrt{y}}x\sqrt{y}dxdy=\int_0^1\frac{1}{2}{3}\sqrt{y}x^2dy\\ &=\frac{1}{2}\int_0^1\sqrt{y}(y-y^4)dy=\frac{1}{2}\int_0^1(y^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{9}{2}})dy\\ &=\frac{1}{2}(\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{11}y^{\frac{11}{2}})\Big|_0^1=\frac{6}{55}\end{align*}

我们看到，这两种方法得到的结果是一样的。

例2，计算二重积分 \(\iint_De^{x+y}dA\)，其中 \(D=\{(x,y)||x|+|y|\leq 1\}\)。

解： \(|x|+|y|=1\) 有四条曲线：

\[x+y=1, x-y=1, -x+y=1, -x-y=1\]

\(|x|+|y|\leq 1\) 是下面四个区域的交

\[y\leq 1-x, y\geq x-1, y\leq x+1, y\geq -x-1\]

区域的图形为

这样的区域，必须得分块积分。因为不同的区域，上下曲线不一样。

我们将 \(y\) 轴左边记为 \(D_1\)，右边记为 \(D_2\)，则

\[D_1=\{(x,y)|-1\leq x\leq 0, -x-1\leq y\leq x+1\}, \]

\[D_2=\{(x,y)|0\leq x\leq 1, x-1\leq y\leq 1-x\}\]

所以积分为

\begin{align*}\iint_De^{x+y}dA&=\iint_{D_1}e^{x+y}dA+\iint_{D_2}e^{x+y}dA\\ &=\int_{-1}^{0}\int_{-1-x}^{1+x}e^{x+y}dydx+\int_0^1\int_{x-1}^{-x+1}e^{x+y}dydx\\ &=\int_{-1}^0e^{x+y}\Big|_{-x-1}^{x+1}dx+\int_0^1e^{x+y}\Big|_{x-1}^{-x+1}dx\\ &=\int_{-1}^0(e^{2x+1}-e^{-1})dx+\int_0^1(e-e^{2x-1})dx\\ &=(\frac{1}{2}e^{2x-1}-\frac{x}{e})\Big|_{-1}^0+(ex-\frac{1}{2}e^{2x-1})\\ &=e-e^{-1}\end{align*}