直角坐标下二重积分的计算 double integrals in rectangular coordinates

我们给出了在直角坐标下如何计算二重积分。二重积分的计算，基本方法就是化二重积分为二次积分，就是将二重积分化成两次定积分。基本步骤包括怎么画出积分区域，确定积分的上下限以及确定积分的顺序等等。

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1，化二重积分为二次积分：我们设曲顶柱体的底部区域为 $D = {(x, y) | a \leq x \leq b, ϕ (x) \leq y \leq ψ (x)}$ ，固定 $x$ ，我们得到的是一系列的平行截面，这组平行截面的顶部为曲线 $z = f (x, y)$ ，底部为线段 $ϕ (x) \leq y \leq ψ (x)$ 。每一个截面的面积为 $A (x) = \int_{ϕ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y$ ，再根据平行截面为已知的立体的体积（平行截面为已知的立体的体积）的计算方法，我们知道，曲顶柱体的体积为

$V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} (\int_{ϕ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y) d x$

这是两次定积分，我们称这样的积分为累次积分（这里是两次定积分，所以是二次积分）。我们通常省略里面的括号，直接写成

$V = \int_{a}^{b} \int_{ϕ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y d x$

2，二重积分的计算。我们根据积分区域的不同，得到不同的积分方法（积分次序）。

（1）如果积分区域为 $D = {(x, y) | a \leq x \leq b, ϕ (x) \leq y \leq ψ (x)}$ ，图形如下：

则积分为 $\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} \int_{ϕ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y d x$

（2）若积分区域为 $D = {(x, y) | h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} y, c \leq y \leq d}$ ，也就是说，积分区域如图：

那么，二重积分为 $\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f (x, y) d x d y$

（3）若积分区域为两个区域之和（它们的内部不相交）， $D = D_{1} + D_{2}$ ，

则

$\iint_{D} f (x, y) d A = \iint_{D_{1}} f (x, y) d A + \iint_{D_{2}} f (x, y) d A$

也就是说，如果在不同的地方，积分上下曲线不同，则需要对区域进行划分。

我们来看例题。

例1，求积分 $\iint_{D} x \sqrt{y} d A$ ，其中 $D$ 为两曲线 $y = \sqrt{x}, y = x^{2}$ 所围成的部分。

解：我们先画出区域的图形

我们看到这样的区域可以先积分 $y$ ，也可以先积分 $x$ 。

(I) 方法1，先积分 $y) 。由方程组 \(y = \sqrt{x}, y = x^{2}$ 得到两个交点 $(0, 0), (1, 1)$ ，所以区域的表达式为

$D = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}}$

因此二重积分为

$\begin{aligned} \iint_{D} x \sqrt{y} d A & = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x \sqrt{y} d y d x = \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x y^{\frac{3}{2}} d x \\ = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x (x^{\frac{3}{4}} - x^{3}) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x^{\frac{7}{4}} - x^{4}) d x \\ = \frac{2}{3} (\frac{4}{11} x^{\frac{11}{4}} - \frac{1}{5} x^{5}) |_{0}^{1} = \frac{6}{55} \end{aligned}$

(II) 先积分 $x$ 。那么，右边的曲线为 $x = \sqrt{y}$ ，左边的曲线为 $x = y^{2}$ ，所以积分区域为 ${(x, y) | y^{2} \leq x \leq \sqrt{y}, 0 \leq y \leq 1}$

二重积分为

$\begin{aligned} \iint_{D} x \sqrt{y} d A & = \int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} x \sqrt{y} d x d y = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} 3 \sqrt{y} x^{2} d y \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{y} (y - y^{4}) d y = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (y^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{9}{2}}) d y \\ = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{11} y^{\frac{11}{2}}) |_{0}^{1} = \frac{6}{55} \end{aligned}$

我们看到，这两种方法得到的结果是一样的。

例2，计算二重积分 $\iint_{D} e^{x + y} d A$ ，其中 $D = {(x, y) | | x | + | y | \leq 1}$ 。

解： $| x | + | y | = 1$ 有四条曲线：

$x + y = 1, x - y = 1, - x + y = 1, - x - y = 1$

$| x | + | y | \leq 1$ 是下面四个区域的交

$y \leq 1 - x, y \geq x - 1, y \leq x + 1, y \geq - x - 1$

区域的图形为

这样的区域，必须得分块积分。因为不同的区域，上下曲线不一样。

我们将 $y$ 轴左边记为 $D_{1}$ ，右边记为 $D_{2}$ ，则

$D_{1} = {(x, y) | - 1 \leq x \leq 0, - x - 1 \leq y \leq x + 1},$

$D_{2} = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1, x - 1 \leq y \leq 1 - x}$

所以积分为

$\begin{aligned} \iint_{D} e^{x + y} d A & = \iint_{D_{1}} e^{x + y} d A + \iint_{D_{2}} e^{x + y} d A \\ = \int_{- 1}^{0} \int_{- 1 - x}^{1 + x} e^{x + y} d y d x + \int_{0}^{1} \int_{x - 1}^{- x + 1} e^{x + y} d y d x \\ = \int_{- 1}^{0} e^{x + y} |_{- x - 1}^{x + 1} d x + \int_{0}^{1} e^{x + y} |_{x - 1}^{- x + 1} d x \\ = \int_{- 1}^{0} (e^{2 x + 1} - e^{- 1}) d x + \int_{0}^{1} (e - e^{2 x - 1}) d x \\ = (\frac{1}{2} e^{2 x - 1} - \frac{x}{e}) |_{- 1}^{0} + (e x - \frac{1}{2} e^{2 x - 1}) \\ = e - e^{- 1} \end{aligned}$