我们推导求参数曲线的弧长的公式，定义弧长参数以及如何将一个参数曲线化成为弧长为参数的曲线。弧长为参数的曲线具有一些很好的性质，例如它的切向量是单位切向量，就是它的长度为\(1\)。
笔记下载：弧长与弧长参数 arc length and arc length parametrization
1，曲线的弧长：考虑空间曲线\[\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),a\leq t\leq b\] 和平面曲线\[\vec{r}(t)=(x(t),y(t)),a\leq t\leq b\] 的长度。我们以平面曲线为例说明
我们将曲线分成很多小段，在每一个小段上，可以用连接两个端点的直线来近似这段曲线的长度，
\[\Delta s_i\approx \sqrt{\Delta^2 x_i+\Delta^2y_i}=\sqrt{\frac{\Delta^2x_i}{\Delta^2t}+\frac{\Delta^2y_i}{\Delta^2t}}\Delta t\]
将所有这些小段的长度加起来就是曲线的弧长，它的近似值为
\[s=\sum_{i=1}^{n}\Delta s_i\approx \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{\Delta^2x_i}{\Delta^2t}+\frac{\Delta^2y_i}{\Delta^2t}}\Delta t\]
当分段越来越细，这个近似值就越准确。取极限，就得到了弧长的精确值
\begin{align*}s&=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{\Delta^2x_i}{\Delta^2t}+\frac{\Delta^2y_i}{\Delta^2t}}\Delta t\\ &=\int_a^b\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt=\int_a^b|\vec{r}'(t)|dt\end{align*}
同样的，对空间曲线的弧长为
\[s=\int_a^b|\vec{r}'(t)|dt=\int_a^b\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)+z’^2(t)}dt\]
例1，计算螺旋线 \(\vec{r}(t)=(a\cos t, a\sin t,bt)\) 从 \((a,0,0)\) 到 \((a,0,2\pi b)\) 之间的长度。
解：因为
\[\vec{r}(t)=(a\cos t, a\sin t,bt)\]
\[\vec{r}(t_0)=(a, 0,0),\Rightarrow a\cos t_0=a, a\sin t_0=0, bt_0=0 \Rightarrow t_0=0\]
\[\vec{r}(t_1)=(a, 0,2\pi b),\Rightarrow a\cos t_1=a, a\sin t_1=0, bt_1=2\pi b \Rightarrow t_1=2\pi\]
\[\vec{r}'(t)=(-a\sin t, a\cos t,t)\Rightarrow |\vec{r}'(t)|=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]
所以曲线的弧长为
\[L=\int_0^{2\pi}|\vec{r}(t)|dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2+b^2}dt=2\pi \sqrt{a^2+b^2}\]
例2，求曲线 \(\vec{r}(t)=(t^2,t^2,t^3)\) 从 \(t=0\) 到 \(t=1\) 之间的弧长。
解：\[\vec{r}'(t)=(2t,2t,3t^2), |\vec{r}'(t)|=\sqrt{4t^2+4t^2+3t^4}=t\sqrt{8+9t^2}\]
所以曲线的弧长为 \[L=\int_0^1|\vec{r}'(t)dt=\int_0^1t\sqrt{8+9t^2}dt=\frac{1}{27}(8+9t^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1=\frac{1}{27}(17^{\frac{3}{2}}-8^{\frac{3}{2}})\]
2，弧长参数：假设 \(s\) 是曲线从 \(t_0\) 到 \(t\) 的长度，那么 \[s(t)=\int_{t_0}^t|\vec{r}'(t)dt\]
是一个单调增加的函数。两边关于 \(t\) 求导，我们得到 \[\frac{ds}{dt}=|\vec{r}'(t)|\ne 0\]由反函数存在定理，\(t=t(s)\)，从而 \[r(t)=\vec{r}(t(s))=\vec{r}(s)\]
我们称 \(s\) 为弧长参数。
例3，将螺旋线 \(\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)\)弧长参数化。
解：从前面的例子我们知道，\[|\vec{r}'(t)=\sqrt{a^2+b^2}\] 所以 \[s=\int_0^t\sqrt{a^2+b^2}dt=\sqrt{a^2+b^2}t\]也就是说，\(s=\sqrt{a^2+b^2}t\)，从而得到
\[t=\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
所以\[r(t)=(a\cos t, a\sin t,bt)=\left(a\cos\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},a\sin\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\]