我们从功的计算推导出向量形式的曲线积分的定义，并且给出了不同情况下积分的计算方法。

笔记下载：向量场的曲线积分 line integrals of vector field

1，变力沿曲线做功（work along a curve）：

（1）常力沿直线做功：假设常力 \(\vec{F}\)将物体从点 \(A\) 沿直线移动到 \(B\) 点，

则 \(\vec{F}\) 所做功的公式为 \[w=|\vec{F}||\vec{AB}|\cos\theta=\vec{F}\cdot \vec{AB}\]

（2）变力沿曲线做功：设变力 \(\vec{F}(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\) 沿曲线 \(C\) 将物体从 \(A\) 点处移动到 \(B\)，那么如何求\(\vec{F}(x,y)\) 所做的功？

我们将曲线划分成很多小段，在每一个小段上，曲线的方向是它的切向量方向 \(\vec{T}\)，\(\vec{T}\) 是单位向量，移动的距离是 \(\Delta s_i\)，所以在一小段上

\[\Delta w_i \approx \vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{T}\Delta s_i\]

总的功

\[w=\sum_{i=1}^n\Delta w_i\approx \sum_{i=1}^n \vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{T}\Delta s_i\]

当曲线段划分越来越短，\(\Delta s_i\to 0, i=1,2,\cdots,n\) 时，我们就得到了变力做功的准确值

\[w=\lim_{{n\to\infty}\atop{\Delta s\to 0}} \sum_{i=1}^n \vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{T}\Delta s_i\]

2，对向量的曲线积分的定义：从前面我们看到了，变力沿曲线做功，是对一个和式求极限，由之前我们学过的定积分的定义，我们知道，这样的一个表达式就是积分的定义。所以我们可以定义

\[\int_L\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{T}ds=\lim_{{n\to\infty}\atop{\Delta s\to 0}} \sum_{i=1}^n \vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{T}\Delta s_i\]

其中 \(ds\) 是曲线 \(L\) 上的弧微分。

3，计算：因为 \(\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{ds}\)，我们得到 \(\vec{T}ds=d\vec{r}\)。所以

\[\int_L\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{T}ds=\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_L\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt\]

这就是对向量的曲线积分的计算公式。

我们分几种具体的情况，来给出具体的公式。

（1）空间曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) 给出，\(t\) 从 \(t_0\) 到 \(t_1\)，（\(t_0\) 不一定小于 \(t_1\)，看曲线怎么走，有方向的）那么

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt=\int_{t_0}^{t_1}(x'(t)F_1+y'(t)F_2+z'(t)F_3)dt\]

（2）平面曲线\(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t),y(t))\) 给出，\(t\) 从 \(t_0\) 到 \(t_1\)，那么

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt=\int_{t_0}^{t_1}(x'(t)F_1+y'(t)F_2)dt\]

（3）平面曲线 \(L\) 是由函数 \(y=f(x)\) 给出，\(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)，那么

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}F_1dx+F_2dy=\int_{a}^{b}(F_1+F_2\cdot f'(x))dx\]

例1，求曲线积分 \(\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\)，其中 \{\vec{F}=(xy,yz,zx)\}，\(L\) 是曲线 \(\vec{r}(t)=(t,t^2,t^3)\)，\(t\) 从 \(0\) 到 \(1\)。

解：因为 \(d\vec{r}=(1,2t,3t^2)dt\)，所以

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^1(xy,yz,zx)\cdot(1,2t,3t^2)dt\\ &=\int_0^1(t^3,t^5,t^4)\cdot(1,2t,3t^2)dt\\ &=\int_0^1(t^3+2t^6+3t^6)dt=\frac{1}{4}t^4+\frac{6}{7}t^7\Big|_0^1\\ &=\frac{27}{28}\end{align*}

例2，求变力 \(\vec{F}=(x+y)\vec{i}+(x-z)\vec{j}+(z-y)\vec{k}\) 沿直线从 \((1,0,-1)\) 到 \((0,-2,3)\) 所做的功。

解：直线的方向向量为 \((-1,-2,4)\)，再由直线的参数方程的表达式，我们得到直线的参数方程为

L: \begin{cases}x=-t+1\\ y=-2t\\ z=4t-1\end{cases}

\(t\) 从 \(0\) 到 \(1\)。并且 \(d\vec{r}=(-1,-2.4)dt\)。所以变力做功为

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^1(x+y,x-z,z-y)\cdot(-1,-2,4)dt\\ &=\int_0^1[(3t-1)+2(5t-2)+4(6t-1)]dt\\ &=int_0^1(37t-9)dt=\frac{37}{2}t^2-9t\Big|_0^1=\frac{19}{2}\end{align*}

例3，求积分 \(\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\)，其中 \(\vec{F}=(2xy,x^2)\)，\(L\) 由函数 \(y=x^2\) 给出，从点 \((0,0)\) 到点 \((1,1)\)。

解：积分路径如图，

曲线可以表示成 \(\vec{r}=(x,x^2)\)，所以 \(d\vec{r}=(1,2x)dx\)，所以积分为

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^1(2xy,x^2)\cdot(1,2x)dx\\ &=\int_0^1(2x^3+2x^3)dx\\ &=\int_0^14x^3dx=x^4\Big|_0^1=1\end{align*}