我们给出向量场的积分与路径无关的条件并且说明如何利用积分与路径无关的条件来求曲线积分。

注意，视频里有一处计算上的小错误，请参考我的笔记。

笔记下载：积分与路径无关的条件 independence of path

我们来看这样的例题。

例1，计算曲线积分\(\int_L2xydx+x^2dy\) 分别沿三条曲线 \(L_1:y=x^2, L_2: y=\sqrt{x}\) 及 \(L_3:\) 从原点到 \((1,0)\) 再到 \((1,1)\) 的积分。

解：积分的路径分别如图

（1）以 \(x\) 为积分变量，

\[\int_C2xydx+x^2dy=\int_0^12x\cdot x^2dx+x^2\cdot2xdx=\int_0^14x^3dx=x^4\Big|_0^1=1\]

（2）以 \(y\) 为积分变量， 积分可表示为

\[\int_C 2xydx+x^2dy=\int_0^1 2y^2\cdot y\cdot 2ydy+y^4dy=\int_0^1 5y^4dy=y^5\Big|_0^1=1\]

（3）我们分成两段来求。记 \(C=C_1+C_2\)，\(C_1\) 为 \(y=0\)， \(x\) 从 \(0\) 到 \(1\)，\(dy=0\)； \(C_2\) 为 \(x=1\)，\(y\) 从 \(0\) 到 \(1\)，\(dx=0\) 因为 \(x=1\) 是常数。所以积分为

\begin{align*}\int_C2xydx+x^2dy&=\int_{C_1}2xydx+x^2dy+\int_{C_2}2xydx+x^2dy\\ &=\int_0^1 2x\cdot 0dx +x^2\cdot 0+\int_0^1 2\cdot 1\cdot 0+1dy=y\Big|_0^1=1\end{align*}

从上面我们可以看到，起点与终点相同的这三条曲线，积分值是一样的。这并不奇怪，对于有些函数，只要起点与终点相同，沿任何曲线的积分都是一样的。这就是积分与路径无关的概念。

1，积分与路径无关：若对于任何两条起点 \(A\) 与终点 \(B\) 相同的曲线 \(L_1, L_2\)，曲线积分 \[\int_{L_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{L_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\] 我们称积分与路径无关。

2，定理（积分与路径无关的条件）：下列三个条件是等价的：

（1）\(\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\) 与积分路径无关；

（2）\(\vec{F}\) 是区域 \(D\) 上的保守向量场， \(L\) 是 \(D\) 中的任何一条曲线；

（3）对于 \(D\) 内的任何一条闭曲线，\(\oint_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\)。

证明：（1）我们先证明 \((2)\Rightarrow(3)\)。

假设\(\vec{F}\) 是区域 \(D\) 上的保守向量场，那么它有一个势函数 \(f, \vec{F}=\nabla f\)，

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}=\int_L(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\cdot(dx,dy,dz)\\ &=\int_L\left(\frac{partial f}{\partial x}dx+\frac{partial f}{\partial y}dy+\frac{partial f}{\partial z}dz\right)\\ &=\int_L\frac{df}{dt}dt\end{align*}

若曲线 \(L\) 由 \(L:\vec{r}=\vec{r}(t), t_0\le t\le t_1\) 给出，那么由曲线积分的计算

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_L\frac{df}{dt}dt=f(x(t),y(t),z(t))\Big|_{t_0}^{t_1}\\ &=f(x(t_1),y(t_1),z(t_1))-f(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=f(B)-f(A)\end{align*}

当 \(B=A\) 时， \[\oint_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)=0\]也就是说，任何一条闭曲线上的积分为 \(0\)。

（2）我们证明积分与路径无关，那么沿任一一条闭曲线积分为 \(0\)。

我们设 \(L_1,L_2\) 是连接 \(A,B\) 点的任何两条曲线，

因为 \(\int_{L_1}\vec{F}\cdot\vec{r} =\int_{L_2}\vec{F}\cdot\vec{r}\)，,而且\(L_1\)与 \(L_2\) 的反向组成一个闭曲线 ，我们记 \(L=L_1-L_2\)，所以

\[\int_{L_1}\vec{F}\cdot d\vec{r} -\int_{L_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\quad\Rightarrow\quad \oint_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\]

（3）将上面的证明反过来，就得到了沿任一一条闭曲线，积分为 \(0\)，则积分与路径无关。

（4）若积分与路径无关，则 \(\vec{F}\) 是保守向量场。这是格林（Green’s Theorem ）公式（平面）和 Stokes 公式（空间）的直接结论。

由这个定理，我们还得到了如下的

4，定理：若 \(\vec{F}\) 是保守向量场，\(\vec{F}=\nabla f\)，则\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\]其中 \(A\) 和 \(B\) 是曲线 \(L\) 的起点和终点。

现在我们利用积分与路径无关来求一些曲线积分。

例2，\(A,B\) 取什么值时， \[\vec{F}=Ax\sin(\pi y)\vec{i}+(x^2\cos(\pi y)+Bye^{-z})\vec{j}+y^2e^{-z}\vec{k}\]是保守向量场？对这样的 \(A,B\)，求曲线积分\(\int_L\vec{f}\cdot d\vec{r}\)，其中 \(L\) 分别是曲线

（1）\(\vec{r}=\cos t\vec{i}+\sin(2t)\vec{j}+\sin^2t\vec{k}, 0\le t\le 2\pi\)；

（2）曲面 \(z=x^2+4y^2\) 和 \(z=3x-2y\) 的交线位于 \((0,0,0)\) 到 \((1,\frac{1}{2},2)\) 之间的一段。

解：因为

\[\frac{\partial F_1}{\partial y}=A\pi x\cos(\pi x), \frac{\partial F_2}{\partial x}=2x\cos(\pi y),\Rightarrow A=\frac{2}{\pi}\]

\[\frac{\partial F_2}{\partial z}=-Bye^{-z}, \frac{\partial F_1}{\partial y}=2ye^{-z},\Rightarrow B=-2\]

所以

\[F_1=\frac{2}{\pi}\sin(\pi y), F_2=x^2\cos(\pi y)-2ye^{-z}, F_3=y^2e^{-z}\]

因为 \(\vec{F}=\nabla f\)，

\[F_1=\frac{\partial f}{\partial x}\Rightarrow f=\int F_1 dx=\int\frac{2}{\pi}\sin(\pi y)dx=\frac{1}{\pi}x^2\sin(\pi y)+g(x,y)\]

\[F_2=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(\pi y)+g_y(x,y)=x^2\cos(\pi y)-2ye^{-z}\]

所以\[g_y(x,y)=-2ye^{-z},\Rightarrow g(x,y)=\int (-2ye^{-z})dy=-y^2e^{-z}+h(z)\]

也就是说

\[f=\frac{1}{\pi}x^2\sin(\pi y)-y^2e^{-z}+h(z)\]

再由

\[F_3=\frac{\partial f}{\partial z}=y^2e^{-z}+h'(z)=y^2e^{-z}\]

得到 \[h'(z)=0 \Rightarrow h(z)=C\]

所以 \[f(x,y,z)=\frac{1}{\pi}x^2\sin(\pi y)-y^2e^{-z}+C\]

（1）\(\vec{F}\) 是保守向量场，积分与路径无关，所以

\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=f(x,y,z)\Big|_{t=2\pi}-f(x,y,z)\Big|_{t=0}\\ &=\frac{1}{\pi}x^2\sin(\pi y)-y^2e^{-z}+C\Big|_{t=0}^{t=2\pi}\\&=C-C=0\end{align*}

这里的值，因为 \((x,y,z)=(\cos t, \sin t, \sin^2t)\)，所以 \(t=0\) 和 \(t=2\pi\) 时，\((x,y,z)=(1,0,0)\)。

或者，直接从曲线是闭曲线得到积分为 \(0\)。

（2）由积分与路径无关的结论，\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(1,\frac{1}{2},2)-f(0,0,0)=\frac{1}{\pi}-\frac{1}{4}e^{-2}\]