我们在这个视频里，直观地定义了函数在无穷远处的极限以及讲解了如何求无穷远处的极限。

笔记下载：函数在无穷远处的极限 limits at infinity

当自变量的绝对值越来越大，或者自变量变得越来越大的时候，函数的变化趋势，就是函数在无穷远处的极限。

我们可以直观地定义函数在无穷远处的极限。

1，定义：当 $x$ 无限增大时，函数 $f(x)$ 无限接近于数 $A$，我们称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限。记为 $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$$更严格一点的说法是：当 $x$ 足够大时，函数 $f(x)$ 与数 $A$ 之间的距离可以任意小。

同样，我们定义 $f(x)$ 在负无穷远处的极限。当 $x$ 无限不断变小时，函数 $f(x)$ 无限接近于数 $A$，我们称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限。记为 $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$$

2，由无穷远处的极限的定义，我们有下列的基本事实：$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }$$

$n$ 为自然数时， $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty },& n=2m\\ -\mathrm{\infty },& n=2m+1\end{array}$$

3，常见函数在无穷远处的极限：$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln x=+\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$

4，无穷远处的极限的计算。对有理函数来说，我们可以直接比较无穷大的阶，或者说，直接除以分子或者分母的最高阶项，就可以得到极限值。另外，我们之前学过的四则运算及一些初等技巧，都可以在这里用。

我们先来看一下怎么比较无穷大的阶。我们的基本方法就是除以分子或者分母的最高阶。

例1：$$\begin{array}{rl}(1)& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+4x^3}{1-x^2+7x^3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x^2}+4}{\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}+7}=\frac{4}{7}\\ (2)& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x-2}{x^2+2x+3}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}=0\\ (3)& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3-2x+5}{2x^2+7x-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{2+\frac{7}{x}-\frac{1}{x^2}}=+\mathrm{\infty }\\ (4)& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+5x^2-7}{x^2+3}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+5-\frac{7}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}=-\mathrm{\infty }\end{array}$$

结论：如果 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ 是有理函数，也就是分子分母都是多项式的时候，

（1）$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P(x)<\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Q(x),f(x)\to 0(x\to \pm \mathrm{\infty })$；

（2）$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P(x)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Q(x)=n,f(x)\to 0(x\to \frac{a_n}{b_n})$，其中 $a_n,b_n$ 分别是 $P(x),Q(x)$ 最高阶的系数；

（3）$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P(x)>\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Q(x),f(x)\to \pm \mathrm{\infty }(x\to \pm \mathrm{\infty })$；

有根号的时候，我们也可以比较无穷大的阶，但是需要注意正负号。

例2：求极限 $$(1)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3},(2)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}$$

解：（1）我们把分子分母同除以 $x$，注意到 $x>0,x=\sqrt{x^2}$，所以 $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\sqrt{5}$$

（2）我们同样把分子分母同除以$x$，注意到 $x<0,x=-\sqrt{x^2}$，所以 $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{-\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=-\sqrt{5}$$

上面的例子说明了，如果有根号，我们要注意的地方。

现在我们来看一下，别的初等方法的应用。

例3：求极限 $$(1)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x},(2)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+3x}+x$$

解：（1）我们对函数有理化，$$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}=1\end{array}$$

最后第二个等式，我们将分子分母同除以 $x$，再应用了上题的方法。

（2）同样的，我们对函数有理化（因为极限是 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$情形，不能直接应用极限运算法则）$$\begin{array}{rl}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+3x}+x& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\sqrt{x^2+3x}+x)(\sqrt{x^2+3x}-x)}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1}=-\frac{3}{2}\end{array}$$

倒数第二个等式，是因为分子分母同除以 $x$，并且应用了 $x=-\sqrt{x^2}$ 这一事实。

例4，

$$\begin{array}{r}(1)\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}=1\\ (2)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=-1\end{array}$$

例5 $$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2x+5{)}^{30}(3x-1{)}^{20}}{(5x+2{)}^{50}}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{(2x+5{)}^{30}(3x-1{)}^{20}}{x^{50}}}{\frac{(5x+2{)}^{50}}{x^{50}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{(2x+5{)}^{30}}{x^{30}}\cdot \frac{(3x-1{)}^{20}}{x^{20}}}{\frac{(5x+2{)}^{50}}{x^{50}}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2+\frac{5}{x}{)}^{30}\cdot (3-\frac{1}{x}{)}^{20}}{(5+\frac{2}{x}{)}^{50}}=\frac{2^{30}\cdot 3^{20}}{5^{50}}\end{array}$$