\(\mathbb{R}^n\)上的线性变换有一个重要的定理，就是每一个线性变换 \(T\) ,都有一个矩阵 \(A\) 跟它对应，使得 \(T(\vec{x})=A\vec{x}\)。定理的结论是这样的：

定理： 假设 \(T\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个线性变换，那么必定存在一个矩阵 \(A\) 使得
\[T(\vec{x})=A\vec{x},\]
并且
\[A=[T\vec{e}_1 \ T\vec{e}_2 \ \cdots T\vec{e}_n].\]

这个定理的前一部分说明了这样的矩阵是存在的，而后一部分说明了怎么样寻找这样的矩阵。

从定理的叙述可以看出，我们只要\(\mathbb{R}^n\) 上的标准基的像都找出来，那么我矩阵 \(A\) 就找出来了。也就是说，一般情况下，我们只要盯住标准基 \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\)，看它们怎么变就行了。当然，有些复杂一点的变换，我们需要用一点点其它的技巧。

我们来看两个例子。

例1 假设 \(\mathbb{R}^2\) 的一个线性变换 \(T\) 定义为将平面上的点以直线 \(y=x\) 作反射，求 \(T\) 所对就的矩阵 \(A\).

解：要求出这个矩阵，我们只需要知道两个向量 \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 变成了什么就可以了。

显然，以直线 \(y=x\) 作反射，\(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) 就变成了\(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)， 而\(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 就变成了\(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)。所以
\[A=[T\vec{v}_1 \ T\vec{v}_2]=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\]

例2：假设 \(\mathbb{R}^2\) 的一个线性变换 \(T\) 定义为将平面上的点以直线 \(y=2x\) 作反射，求 \(T\) 所对就的矩阵 \(A\).

这个问题麻烦些，因为我们不能直接计算出 \(T\vec{v}_1\) 和 \(T\vec{v}_2\)，但我们可以用间接的方式算出 \(A\)。

解：既然是以 \(y=2x\) 作反射轴，那么这条线上的所有的点是不变的。我们不妨选取点 \((1,2)\)，那么 \(T \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)。

但是 \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\vec{v}_1+2\vec{v}_2\)， 由线性变换的性质，\(T(\vec{v}_1+2\vec{v}_2)=T\vec{v}_1+2T\vec{v}_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)

另外，我们通过原点作垂直于\(y=2x\) 的直线。由直线垂直的性质，我们作出来的这条直线具有方程 \(y=-\frac{1}{2}x\)。这条直线上所有的点，都变成以原点为对称点的点。我们不妨选取点 \((-2,1)\)，这个点变成 \((2,-1)\)。也就是说
\[T\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\]
同样的道理， \(\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=-2\vec{v}_1+\vec{v}_2\)，\(T(-2\vec{v}_1+\vec{v}_2)=-2T\vec{v}_1+T\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).

所以我们得到了两个方程，
\[\begin{cases}
T\vec{v}_1+2T\vec{v}_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\
-2T\vec{v}_1+T\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}
\end{cases}\]

将 \(T\vec{v}_1\) 和 \(T\vec{v}_2\) 看成未知数，求解上述方程，我们得到解
\[
T\vec{v}_1=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}, \quad
T\vec{v}_2=\begin{pmatrix}\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5}\end{pmatrix}
\]

所以
\[A=\begin{pmatrix}
-\frac{3}{5}& \frac{4}{5}\\
\frac{4}{5}&\frac{3}{5}
\end{pmatrix}\]